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Lexikon der Mathematik: Picard-Fuchs-Gleichungen

lineare Differentialgleichungen für die Perioden von holomorphen n-Formen einer eindimensionalen Familie glatter projektiver algebraischer Varietäten der Dimension n.

Zum Beispiel erfüllen die Perioden p der Familie elliptischer Kurven \begin{eqnarray}{E}_{\lambda }:{y}^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\end{eqnarray} die Differentialgleichung zweiter Ordnung \begin{eqnarray}4\lambda (\lambda -1)\frac{{d}^{2}p}{d{\lambda }^{2}}+4({\lambda }_{1})\frac{dp}{d\lambda }+p=0\end{eqnarray} (Gauß-Manin-Zusammenhang), und für die Familie von Quintiken im ℙ4\begin{eqnarray}{V}_{\mu }:{z}_{0}^{5}+{z}_{1}^{5}+{z}_{2}^{5}+{z}_{3}^{5}+{z}_{4}^{5}-5\mu {z}_{0}{z}_{1}{z}_{2}{z}_{3}{z}_{4}=0\end{eqnarray} erfüllen die Perioden die Differentialgleichung vierter Ordnung \begin{array}{l}\quad(1-{\mu }^{5}){\mu }^{4}\displaystyle\frac{{d}^{4}p}{{(d\mu )}^{4}}-(4+6{\mu }^{3}){\mu }^{3}\displaystyle\frac{{d}^{3}p}{d{\mu }^{3}}\\ +(12-7{\mu }^{5}){\mu }^{2}\displaystyle\frac{{d}^{2}p}{d{\mu }^{2}}-(24+{\mu }^{5})\mu \displaystyle\frac{dp}{d\mu }+24p=0.\end{array}

Die allgemeine Situation ist wie folgt: π : XS sei ein glatter projektiver Morphismus einer algebraischen Varietät X auf eine glatte algebraische Kurve S über ℂ mit n-dimensionalen zusammenhängenden Fasern. Dann ist \({\pi }_{* }{{\rm{\Omega }}}_{X|S}^{n}\) Unterbündel der de Rham-Kohomologie \({{\mathcal{H}}}_{DR}^{n}(X/S)\), und auf \({{\mathcal{H}}}_{DR}^{n}(X/S)={\mathcal{H}}\) ist der Gauß-Manin-Zusammenhang \(\nabla :{\mathcal{H}}\to {{\rm{\Omega }}}_{S}^{1}\otimes {\mathcal{H}}\) definiert.

Es sei \({{\mathcal{D}}}_{S}\) die Garbe der linearen Differentialoperatoren mit holomorphen Koeffizienten auf S. Daß der Zusammenhang ∇ integrabel ist, ist äquivalent dazu, daß \({\mathcal{H}}\) die Struktur eines \({{\mathcal{D}}}_{S}\)-Moduls besitzt. Wenn ω Schnitt oder Keim eines Schnittes von \({\pi }_{* }{{\rm{\Omega }}}_{X/S}^{n}\) ist, so heißen die Schnitte P bzw. Keime von Schnitten von \({{\mathcal{D}}}_{S}\) mit Pω = 0 Picard-Fuchs-Gleichungen von ω.

Dies hängt auf folgende Weise mit den Perioden von ω zusammen: Die Homologie-Gruppen \({H}_{n}({X}_{s}^{an},{\mathbb{C}})\) (wobei \({X}_{s}^{an}\) der zugrundeliegende analytische Raum der Faser π−1(s), sS(ℂ), ist) bilden ein lokales System \(\mathop{V}\limits_{\_}\) auf San. Ist γ ein Schnitt dieses lokalen Systems, so ist \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\omega =p\end{eqnarray} eine holomorphe Funktion auf San (die Periode von ω bzgl. γ), die die Differentialgleichung P(p) = 0 erfüllt.

Die Picard-Fuchs-Gleichungen von ω bilden ein Linksideal \(L\subset {{\mathcal{D}}}_{S}\), so daß \({\mathfrak{M}}={{\mathcal{D}}}_{S}/L\cong {{\mathcal{D}}}_{S}\omega \) als \({{\mathcal{D}}}_{S}\)-Modul, und die Perioden liefern auf die oben beschriebene Weise eine Surjektion auf die Garbe der Lösungen des entsprechenden Differentialsystems \({\mathfrak{M}}\)\begin{eqnarray}\mathop{V}\limits_{\_}\to \text{Sol}({\mathfrak{M}})=\text{Hom}\,({\mathfrak{M}},\,{{\mathcal{O}}}_{{S}^{an}}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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