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Lexikon der Mathematik: Picard-Gruppe

die Gruppe der Isomorphieklassen von Geradenbündeln aus einem Schema X, wobei die Gruppenoperation durch das Tensorprodukt von Geradenbündeln definiert wird. Sie wird mit Pic(X) bezeichnet.

Da jedes Bündel lokal trivial ist und Trivialisierungen sich um Faktoren aus \({{\mathcal{O}}}_{X}^{* }\) unterscheiden, ist Pic(X) auf kanonische Weise zu \({H}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}^{* })\) isomorph (Garben-Kohomologie).

Ist X = Spec(A), A ein nullteilerfreier kommutativer Ring, so wird Pic(X) auch als Idealklassengruppe von A bezeichnet, da jedes Element durch ein umkehrbares Ideal repräsentiert wird (und im Falle von Dedekindschen Ringen jedes von Null verschiedene Ideal umkehrbar ist). Wenn insbesondere X endlich über Spec(ℤ) ist, so ist Pic(X) eine endliche Gruppe (Endlichkeit der Klassenzahl).

Die Gruppe \({H}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}^{* })\) wird im Sinne der Zariski-Topologie verstanden. Eine wichtige Tatsache ist, daß auch bzgl. einiger wichtiger feinerer Grothendieck-Topologien der Vergleichshomomorphismus ein Isomorphismus ist. Das gilt z. B. für die Etaltopologie, d. h., daß \begin{eqnarray}{H}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}^{* })\to {H}^{1}({X}_{\text{et}},{{\mathcal{O}}}_{X}^{* })\end{eqnarray} (induziert durch die stetige Abbildung \begin{eqnarray}{X}_{\text{Zar}}\to {X}_{\text{et}})\end{eqnarray} ein Isomorphismus ist. Dies hat als Anwendung der exakten Kohomologiefolge die Konsequenz, daß man eine natürlich exakte Folge (Kummer-Folge) \begin{array}{l}{{\mathcal{O}}}_{X}{(X)}^{* }\mathop{\to }\limits^{n}{{\mathcal{O}}}_{X}{(X)^*}\to {H}^{1}({X}_{\text{et}},{\mu }_{n})\\ \to \text{Pic}(X)\mathop{\to }\limits^{n}\text{Pic}(X)\to {H}^{2}({X}_{\text{et}},{\mu }_{n})\\ \to {H}^{2}({X}_{\text{et}},{{\mathcal{O}}}_{X}^{* })\mathop{\to }\limits^{n}{H}^{2}({X}_{\text{et}},{{\mathcal{O}}}_{X}^{* })\end{array} hat, wobei μn die Garbe der n-ten Einheitswurzeln bezeichnet \((\mu (U)=\{s\in {{\mathcal{O}}}_{U}(U),\,{s}^{n}=1\})\), und n teilerfremd zur Charakteristik aller Restklassenkörper ist.

(Die Notation \(A\mathop{\to }\limits^{n}A\) für eine Gruppe bedeutet hier, ein Element n mal mit sich selbst zu komponieren, die Abbildung \({{\mathcal{O}}}_{X}^{* }\mathop{\to }\limits^{n}{{\mathcal{O}}}_{X}^{* }\) ist in der Etaltopologie surjektiv und hat den Kern μn, wenn \({{\mathcal{O}}}_{X}\mathop{\to }\limits^{n}{{\mathcal{O}}}_{X}\) bijektiv ist.)

Wenn X ein algebraisches Schema über dem Körper der komplexen Zahlen ist, hat man einen Vergleichsmorphismus XanX und daher eine natürliche Abbildung \begin{array}{l}{H}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}^{* })=\text{Pic}(X)\to \\ {H}^{1}({X}_{\text{an}},{{\mathcal{O}}}_{{X}_{\text{an}}}^{* })=\text{Pic(}{X}_{\text{an}}\text{),}\end{array} wobei Pic(Xan) die Gruppe der analytischen Isomorphieklassen von holomorphen Geradenbündeln auf einem komplexen Raum ist. Nach dem GAGA-Prinzip ist das ein Isomorphismus, wenn X ein projektives Schema über ℂ ist, und allgemeiner, wenn Xan kompakt ist.

Im analytischen Fall hat man die zur Exponentialfunktion gehörige exakte Folge \begin{eqnarray}0\to 2\pi i{\mathbb{Z}}\to {{\mathcal{O}}}_{{X}_{\text{an}}}\mathop{\to }\limits^{\text{exp}}{{\mathcal{O}}}_{{X}_{\text{an}}}^{* }\to 0\end{eqnarray} zur Verfügung, woraus man ein exakte Folge (im Falle \({H}^{0}({X}_{\text{an}},{{\mathcal{O}}}_{{X}_{\text{an}}})={\mathbb{C}}\)) \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}0 & \to & {H}^{1}({X}_{\text{an}},2\pi i{\mathbb{Z}})\to {H}^{1}({X}_{\text{an}},{{\mathcal{O}}}_{{X}_{\text{an}}})\\ & \to & \text{Pic}({X}_{\text{an}})\mathop{\to }\limits^{\delta }{H}^{2}({X}_{\text{an}},2\pi i{\mathbb{Z}})\end{array}\end{eqnarray} erhält, und \begin{eqnarray}\frac{1}{2\pi i}\delta ({\mathcal{L}})={c}_{1}({\mathcal{L}})\end{eqnarray} ist die erste Chern-Klasse von \({\mathcal{L}}\).

Ist X kompakte Kählermannigfaltigkeit, so ist H1 (X, 2πiℤ) ein Gitter in \({H}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X})\) und \begin{eqnarray}{H}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X})/{H}^{1}(X,2\pi i{\mathbb{Z}})={\text{Pic}}^{0}(X)\subset \text{Pic}(X)\end{eqnarray} ein komplexer Torus (in der Tat eine abelsche Varietät), und \begin{eqnarray}\text{Pic}(X)/{\text{Pic}}^{0}(X)\subseteq {H}^{2}(X,{\mathbb{Z}}).\end{eqnarray}

Siehe auch Picard-Schema.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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