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Lexikon der Mathematik: Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen

spezielle Problemstellungen im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen von elliptischem Typ. Dabei werden Lösungen der Differentialgleichung gesucht, die auf dem Rand des Definitionsgebiets bestimmte Werte annehmen.

Es bezeichne u(x) die gesuchte Funktion der Raumkoordinate x im Gebiet Ω mit Rand ∂Ω, f und h seien vorgebenen Funktionen auf ∂Ω. Ferner sei n der äußere Normalenvektor auf ∂Ω und

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u\cdot n\end{eqnarray}

die Normalenableitung von u. Dann unterscheidet man grundsätzlich folgende Klassen von Randbedingungen:

\begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{u|}_{\partial \Omega }=h & (\text{RB erster Art}),\\ {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}\bigg|}_{\partial \Omega }=h & (\text{RB zweiter Art}),\\ {\left(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}+fu\right)\bigg|}_{\partial \Omega }=h & (\text{RB dritter Art}).\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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