Überführung einer trigonalisierbaren (n × n)-Matrix A =: A₁ über \({\mathbb{K}}\) in eine obere Dreiecksmatrix D durch die Operation \begin{eqnarray}D=R{A}_{1}{R}^{-1}\end{eqnarray} mit einer regulären Matrix R.

Die übliche Vorgehensweise ist wie folgt: Sind λ₁, …, λ_n die (nicht notwendigerweise verschiedenen) Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A₁, so berechnet man einen (stets existierenden) Eigenvektor v₁ von A₁ zu λ₁. Die reguläre Matrix R₁ mit v₁ als erstem Spaltenvektor und (stets existierenden) kanonischen Basisvektoren e₂₂, …, e_n2, für die (v₁, e₂₂, …, e_n2) eine Basis von V ist, als den weiteren Spaltenvektoren, überführt A₁ in eine Matrix A₂ mit λ₁ an Stelle (1, 1) und Nullen an den Stellen (2, 1) bis (n, 1), also \begin{eqnarray}{A}_{2}={R}_{1}A{R}_{1}^{-1}.\end{eqnarray}

Nun berechnet man einen Eigenvektor v₂ von A₁ zu λ₂ und ergänzt die Vektoren v₁ und v₂ zu einer Basis (v₁, v₂, e₃₃, …, e_n3) von V mit {e₃₃, …, e_n3} ⊂ {e₂₂, …, e_n2} (was stets möglich ist). Die reguläre Matrix R₂ mit den Spaltenvektoren v₁, v₂, e₃₃, …, e_n3 überführt nun A₁ in eine Matrix A₃ mit λ₁ an der Stelle (1, 1), λ₂ an der Stelle (2, 2), und darunter jeweils Nullen, also \begin{eqnarray}{A}_{3}={R}_{2}{A}_{1}{R}_{2}^{-1}.\end{eqnarray}

Fährt man so fort, erhält man nach spätestens l ≤ n − 1 Schritten eine reguläre Matrix R_l mit \({R}_{l}{A}_{1}{R}_{l}^{-1}\) in oberer Dreiecksgestalt.