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Lexikon der Mathematik: Trigonalisierung

Überführung einer trigonalisierbaren (n × n)-Matrix A =: A1 über \({\mathbb{K}}\) in eine obere Dreiecksmatrix D durch die Operation \begin{eqnarray}D=R{A}_{1}{R}^{-1}\end{eqnarray} mit einer regulären Matrix R.

Die übliche Vorgehensweise ist wie folgt: Sind λ1, …, λn die (nicht notwendigerweise verschiedenen) Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A1, so berechnet man einen (stets existierenden) Eigenvektor v1 von A1 zu λ1. Die reguläre Matrix R1 mit v1 als erstem Spaltenvektor und (stets existierenden) kanonischen Basisvektoren e22, …, en2, für die (v1, e22, …, en2) eine Basis von V ist, als den weiteren Spaltenvektoren, überführt A1 in eine Matrix A2 mit λ1 an Stelle (1, 1) und Nullen an den Stellen (2, 1) bis (n, 1), also \begin{eqnarray}{A}_{2}={R}_{1}A{R}_{1}^{-1}.\end{eqnarray}

Nun berechnet man einen Eigenvektor v2 von A1 zu λ2 und ergänzt die Vektoren v1 und v2 zu einer Basis (v1, v2, e33, …, en3) von V mit {e33, …, en3} ⊂ {e22, …, en2} (was stets möglich ist). Die reguläre Matrix R2 mit den Spaltenvektoren v1, v2, e33, …, en3 überführt nun A1 in eine Matrix A3 mit λ1 an der Stelle (1, 1), λ2 an der Stelle (2, 2), und darunter jeweils Nullen, also \begin{eqnarray}{A}_{3}={R}_{2}{A}_{1}{R}_{2}^{-1}.\end{eqnarray}

Fährt man so fort, erhält man nach spätestens ln − 1 Schritten eine reguläre Matrix Rl mit \({R}_{l}{A}_{1}{R}_{l}^{-1}\) in oberer Dreiecksgestalt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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