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Langlands Programm: Die Vereinheitlichung der Mathematik

Das vor 55 Jahren gegründete Langlands-Programm soll verschiedenste Bereiche der Mathematik zusammenführen. Diese Brücken zu bauen, ist allerdings alles andere als einfach. Nun haben zwei Forscher einen enormen Fortschritt erzielt, indem sie eine Verbindung zwischen der Zahlentheorie und der Geometrie gefunden haben.
Geometrische Flächen

Das größte Projekt in der Mathematik hat im Februar 2021 ein seltenes Geschenk erhalten: Eine 350-seitige Arbeit, welche die Art und Weise verändern wird, wie die Fachwelt einige der tiefgründigsten Fragen des Bereichs untersucht. Der Fachaufsatz enthält ein neuartiges geometrisches Objekt, das eine Verbindung zwischen der Geometrie und der Zahlentheorie herstellt. »Das eröffnet unglaublich viele Möglichkeiten. Die Methoden sind so neu, dass sie nur darauf warten, erforscht zu werden«, so der Algebraiker Tasho Kaletha von der University of Michigan.

Die Autoren des aufsehenerregenden Aufsatzes sind Laurent Fargues vom Institut de Mathématiques de Jussieu in Paris und sein Kollege Peter Scholze von der Universität Bonn, der 2018 die Fields-Medaille erhielt, eine der bedeutendsten Auszeichnungen in der Mathematik. Die zwei Forscher haben ein völlig neues Gebiet im langjährigen Langlands-Programm offenbart, das versucht, unterschiedliche mathematische Zweige miteinander zu verbinden. Sie eröffnen damit die Möglichkeit, völlig anders über Fragen nachzudenken, die seit Jahrhunderten untersucht werden.

Im Mittelpunkt der Veröffentlichung steht ein wiederbelebtes geometrisches Objekt namens Fargues-Fontaine-Kurve. Fargues und Jean-Marc Fontaine, der bis zu seinem Tod im Jahr 2019 Professor an der Université Paris-Sud war, entwickelten sie erstmals vor mehr als zehn Jahren. Und nun erreicht das Objekt endlich seine vollständige Form. »Damals ahnten sie zwar, dass die Kurve interessant und wichtig ist, aber sie wussten nicht, auf welche Weise«, erklärt die Mathematikerin Eva Viehmann von der Technischen Universität München.

Die Kurve hätte in irgendeiner Ecke der Mathematik untergehen können, doch 2014 haben Fargues und Scholze sie in den Mittelpunkt ihres Fachgebiets gerückt. In den folgenden sieben Jahren arbeiteten sie die grundlegenden Details aus, um die Figur an eine Theorie von Scholze anzupassen. Das Ergebnis schlägt nicht einfach bloß große Wellen, sondern lässt die Bereiche der Zahlentheorie und der Geometrie erbeben. »Es ist eine Art Wurmloch zwischen zwei verschiedenen Welten«, sagt Scholze. »Sie werden dadurch irgendwie zu ein und derselben Sache« …

Von »Spektrum der Wissenschaft« übersetzte und bearbeitete Fassung des Artikels »New Shape Opens ‘Wormhole’ Between Numbers and Geometry« aus »Quanta Magazine«, einem inhaltlich unabhängigen Magazin der Simons Foundation, die sich die Verbreitung von Forschungsergebnissen aus Mathematik und den Naturwissenschaften zum Ziel gesetzt hat.

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  • Quellen

Fargues, L., Scholze, P.: Geometrization of the local Langlands correspondence. ArXiv: 2102.13459, 2021

Scholze, P.: Etale cohomology of diamonds. ArXiv:1709.07343, 2017