Hemmes mathematische Rätsel: Wie können die Würfel hergestellt werden?
Im Jahr 2008 gründeten Jeff Atwood und Joel Spolsky »Stack Overflow«, eine Frageseite für Programmierer, woraus dann in den Folgejahren »Stack Exchange« wurde, ein Netz von 33 Fragewebseiten, die jeweils ein spezifisches Fachthema abdecken. Das Prinzip dieser Webseiten ist es, dass Benutzer der Gemeinschaft Fragen stellen können, die diese dann zu beantworten versucht. »Stack Exchange« hat ein Belohnungssystem. Wenn ein Benutzer Fragen stellt, Fragen beantwortet, gute Bewertungen von anderen Benutzern erhält oder für eine Antwort ausgezeichnet wird, steigt seine Reputation, wie die Belohnungspunkte dort genannt werden. Am 15. April 2021 stellte jemand mit dem Pseudonym Guin_go auf der Mathematikseite von »Stack Exchange« folgendes Rätsel:
Bei einem Wurf mit zwei gewöhnlichen Würfeln kann die erreichte Augensumme Werte von 2 bis 12 annehmen. Sind die beiden Würfel fair, ist der Wurf jedes der 6 · 6 = 36 möglichen Augenpaare gleich wahrscheinlich. Da aber die einzelnen Augensummen durch unterschiedlich viele Augenpaare erreicht werden können, sind diese jedoch nicht alle gleich wahrscheinlich. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Summe 2 zu werfen, nur 1/36, da es nur ein mögliches Augenpaar, nämlich (1, 1), dafür gibt. Die Summe 7 hingegen kann man mit den sechs Augenpaaren (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) und (6, 1) erreichen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, 7 zu werfen, 6/36 oder 1/6.
Angenommen, man könnte die Würfel so herstellen, dass die Augenzahlen mit völlig frei gewählten Wahrscheinlichkeiten geworfen werden. Wie muss man die Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl bei beiden Würfeln wählen, damit man jede Augensumme von 2 bis 12 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erreichen kann?
Angenommen, es gäbe ein solches unfaires Würfelpaar. Die Wahrscheinlichkeiten, mit dem ersten und mit dem zweiten Würfel die Augenzahlen n zu werfen, betragen pn und qn. Jede der elf Augensummen von 2 bis 12 soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/11 erzielt werden. Da man Augensumme 2 nur dann erhält, wenn man mit beiden Würfeln eine 1 wirft, gilt p1q1 = 1/11. Die Summe 12 bekommt man nur, wenn man mit beiden Würfeln eine 6 wirft. Somit beträgt auch p6q6 = 1/11. Für die Augensumme 7 gibt es sechs Möglichkeiten. Zwei davon sind, mit dem ersten Würfel eine 1 und mit dem zweiten eine 6 zu werfen oder umgekehrt. Folglich gilt p1q6 + p6q1 ≤ 1/11. Wahrscheinlichkeiten können grundsätzlich nicht negativ sein. Außerdem dürfen p1, p6, q1 und q6 nicht 0 sein, da sonst die Produkte nicht 1/11 ergeben können. Daraus folgt p1q6 < 1/11 und p6q1 < 1/11. Aus diesen beiden Ungleichungen erhält man zusammen mit den obigen Gleichungen p1q6 < p6q6 und p6q1 < p1q1, was sich zu p1 < p6 und p6 < p1 vereinfachen lässt. Da diese beiden Ungleichungen sich aber widersprechen, kann es solche Würfel nicht geben.
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