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Lexikon der Mathematik: Abbildung zwischen Vektorverbänden

spezielle Abbildungen.

Sind X und Y Vektorverbände, so heißt ein linearer Operator T : XY positiv, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}x\ge 0 & \Rightarrow & Tx\ge 0,\end{array}\end{eqnarray}

und T heißt regulär, wenn T Differenz zweier positiver Operatoren ist. Ist Y Dedekind-vollständig, so ist der Vektorraum Lr(X, Y) aller regulären Opera-toren seinerseits ein Dedekind-vollständiger Vektorverband. T heißt Verbandshomomorphismus, wenn stets T(xy) = TxTy gilt; ein bijektiver Operator ist genau dann ein Verbandshomomorphismus, wenn T und T−1 positiv sind.

Ist T ein positiver Operator zwischen Banach-Verbänden, so ist T automatisch stetig; daher ist auch jeder reguläre Operator stetig, aber i.allg. ist nicht jeder stetige Operator regulär. Wenn Y Dedekind-vollständig ist, definiert \begin{eqnarray}{\Vert T\Vert }_{r}:=\Vert |T|\Vert =\sup \{\Vert |T|x\Vert :\Vert x\Vert \le 1\}\end{eqnarray}

eine Banach-Verbandsnorm auf Lr(X, Y), die reguläre Norm genannt wird. Für einen Dedekindvollständigen AM-Raum Y (AL- und AM-Räume) ist stets Lr(X, Y) = L(X, Y).

[1] Aliprantis, C. D.; Burkinshaw, O.: Positive Operators. Academic Press New York, 1985.
[2] Schaefer, H. H.: Banach Lattices and Positive Operators. Springer Berlin/Heidelberg, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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