spezielle Orthonormalbasis.

Ist H ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt \(\langle \cdot ,\cdot \rangle \), so heißt eine Teilmenge M ⊆ H ein Orthonormalsystem, wenn stets ⟨x, y⟩ = 0 für x ≠ y, x, y ∈ M gilt und außerdem für alle x ∈ M gilt: ⟨x, x⟩ = 1.

Ein Orthonormalsystem B heißt Orthonormal-basis von H, falls für jedes x ∈ H gilt: \begin{eqnarray}x=\displaystyle \sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b.\end{eqnarray} Ist zusätzlich B noch abzählbar, so spricht man von einer abzählbaren orthonormierten Basis.

Eine Klasse von Räumen, die solche Basen besitzen, sind die separablen Hilberträume. Dabei heißt ein metrischer Raum separabel, wenn er eine höchstens abzählbare dichte Menge besitzt. Es gilt dann der Satz:

Jeder separable Hilbertraum H ≠ {0} besitzt eine höchstens abzahlbare orthonormierte Basis.