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Lexikon der Mathematik: abzählbare orthonormierte Basis

spezielle Orthonormalbasis.

Ist H ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt \(\langle \cdot ,\cdot \rangle \), so heißt eine Teilmenge MH ein Orthonormalsystem, wenn stets ⟨x, y⟩ = 0 für xy, x, yM gilt und außerdem für alle xM gilt: ⟨x, x⟩ = 1.

Ein Orthonormalsystem B heißt Orthonormal-basis von H, falls für jedes xH gilt: \begin{eqnarray}x=\displaystyle \sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b.\end{eqnarray} Ist zusätzlich B noch abzählbar, so spricht man von einer abzählbaren orthonormierten Basis.

Eine Klasse von Räumen, die solche Basen besitzen, sind die separablen Hilberträume. Dabei heißt ein metrischer Raum separabel, wenn er eine höchstens abzählbare dichte Menge besitzt. Es gilt dann der Satz:

Jeder separable Hilbertraum H ≠ {0} besitzt eine höchstens abzahlbare orthonormierte Basis.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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