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Lexikon der Mathematik: geodätisch vollständig

spezielle Eigenschaft einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M.

M heißt geodätisch vollständig, wenn jede Geodätische γ(t) für alle Werte von t ∈ ℝ definiert ist. Da γ(t) sich als Lösung eines Anfangswertproblems eines gewöhnlichen Differentialgleichungsystems zweiter Ordnung ergibt, besitzt nicht jede Mannigfaltigkeit diese Eigenschaft, denn der Existenz- und Eindeutigkeitssatz garantiert die Existenz der Lösung nur in der Nähe des Anfangspunktes. Eigenschaften von M, die die geodätische Vollständigkeit nach sich ziehen, sind z. B. Kompaktheit oder die Transitivität der Wirkung der Isometriegruppe I(M) (vergleiche Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten) auf M.

Somit sind die euklidischen Räume ℝn vollständig, da es zu je zwei Punkten P, Q ∈ ℝn ein Element g der Gruppe der Euklidischen Bewegungen von ℝn mit g(P) = Q gibt. Die Vollständigkeit geschlossener Flächen des ℝ3 wie des Torus oder einer brezelförmigen Fläche ist eine Folge ihrer Kompaktheit. Beispiele von Mannigfaltigkeiten, die nicht geodätisch vollständig sind, erhält man als Komplement \(\tilde{M}\space =\space M\space \backslash \space A\) einer jeden abgeschlossenen Menge AM.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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