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Lexikon der Mathematik: Hamiltonsche Quaternionenalgebra

bezeichnet mit ℍ, ist die vierdimensionale Algebra über den reellen Zahlen ℝ mit Vektorraumbasis {1, i, j, k} und den folgenden Strukurgleichungen für die Multiplikaton · : < ?PageNum _363\begin{eqnarray}\begin{array}{l}\mathrm{i}^{2}=\mathrm{j}^{2}=\mathrm{k}^{2}=-1,\\ \mathrm{i}\cdot \mathrm{j}=-\mathrm{j}\cdot\mathrm{i}=\mathrm{k},\\ \mathrm{j}\cdot \mathrm{k}=-\mathrm{k}\cdot\mathrm{j}=\mathrm{i},\\ \mathrm{k}\cdot \mathrm{i}=-\mathrm{i}\cdot\mathrm{k}=\mathrm{j}.\end{array}\end{eqnarray} Die Algebra H bildet einen Divisionsring. Sie ist die einzige endlichdimensionale nichtkommmutative reelle Divisionsalgebra.

Der Körper der komplexen Zahlen kann z. B. mit den Unterräumen ⟨1, i⟩, ⟨1, j⟩, oder ⟨1, k⟩ identifiziert werden. Die Elemente des Unterraums ⟨i, j, k⟩ werden als (rein-)imaginäre Quaternionen bezeichnet. Der gesamte Unterraum heißt der Imaginärraum der Hamiltonschen Quaternionen.

Ist \begin{eqnarray}x=a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}\end{eqnarray} eine Quaternion, so versteht man unter dem Realteil von x das Element a und unter dem Imaginärteil von x das Element b i + c j + d k. Das zu x konjugierte Element ist definiert als \begin{eqnarray}\bar{x}=a-b\mathrm{i}-c\mathrm{j}-d\mathrm{k}.\end{eqnarray}

Die Norm von x ist definiert als \begin{eqnarray}N(x)=x\cdot \bar{x}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}.\end{eqnarray}

Ist {e1, e2, e3} die Standardbasis des ℝ3, so kann via \begin{eqnarray}\mathrm{i}\rightarrow e_{1},\quad \mathrm{j}\rightarrow e_{2},\quad \mathrm{k}\rightarrow e_{3},\end{eqnarray} der Imaginärraum der Quaternionen mit dem ℝ3 identifiziert werden. Deshalb werden seine Elemente manchmal als vektorielle Quaternionen bezeichnet. In dieser Beschreibung wird der Imaginärteil als vektorieller Anteil der Quaternion und der Realteil als skalarer Anteil der Quaternion bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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