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Lexikon der Mathematik: lokales Extremum

ein Extremum einer „lokal“ betrachteten Funktion.

Genauer: Ein lokales Extremum einer Funktion f: D → ℝ, wobei D Teilmenge eines topologischen Raums sei, liegt an einer Stelle aD vor, wenn es eine Umgebung UD von a so gibt, daß die Einschränkung f/U ein Extremum an der Stelle a hat. Man sagt, f habe an der Stelle a ein lokales Minimum (nämlich f (a)), wenn f/U an der Stelle a ein Minimum hat, und f habe an der Stelle a ein lokales Maximum (nämlich f (a)), wenn f/U an der Stelle a ein Maximum hat. Ebenso spricht man von einem strengen lokalen Minimum bzw. einem strengen lokalen Maximum von f an der Stelle a, wenn es eine Umgebung UD von a so gibt, daß f/U ein strenges Minimum bzw. strenges Maximum an der Stelle a hat. In diesen beiden Fällen spricht man auch von einem strengen lokalen Extremum. Neben „lokales Extremum“, „lokales Minimum“ und „lokales Maximum“ sind auch die Bezeichnungen relatives Extremum, relatives Minimum und relatives Maximum gebräuchlich und neben „strenges lokales Extremum/Minimum/Maximum“ auch die Bezeichnungen lokales Extremum/Minimum/Maximum im engeren Sinne oder eigentliches relatives Extremum/Minimum/Maximum.

Ist D ⊂ ℝn, und bezeichnet \({U}_{a}^{\varepsilon }\) für ϵ > 0 die Umgebung mit Radius ϵ um a und \({\dot{U}}_{a}^{\varepsilon }={U}_{a}^{\varepsilon }\backslash \{a\}\) die zugehörige punktierte Umgebung, so hat also f an der Stelle a ein lokales Minimum genau dann, wenn \begin{eqnarray}\exists \varepsilon \gt 0\,\,\forall x\in D\cap {U}_{a}^{\varepsilon }f(x)\ge f(a),\end{eqnarray} ein lokales Maximum genau dann, wenn \begin{eqnarray}\exists \varepsilon \gt 0\,\,\forall x\in D\cap {U}_{a}^{\varepsilon }f(x)\le f(a),\end{eqnarray} ein strenges lokales Minimum genau dann, wenn \begin{eqnarray}\exists \varepsilon \gt 0\,\,\forall x\in D\cap {\dot{U}}_{a}^{\varepsilon }f(x)\gt f(a)\end{eqnarray} und ein strenges lokales Maximum genau dann, wenn \begin{eqnarray}\exists \varepsilon \gt 0\,\,\forall x\in D\cap {\dot{U}}_{a}^{\varepsilon }f(x)\lt f(a).\end{eqnarray}f hat an einer Stelle a genau dann ein (strenges) lokales Maximum, wenn −f an der Stelle a ein (strenges) lokales Minimum hat.

Besitzt die Menge der lokalen Minima von f ein Minimum, so ist dies das (globale oder absolute) Minimum von f. Besitzt die Menge der lokalen Maxima von f ein Maximum, so ist dies das (globale oder absolute) Maximum von f.

Der Fall D ⊂ ℝ: Ist D ⊂ ℝ und f : D → ℝ differenzierbar an der inneren Stelle a von D, so ist f′ (a) = 0 eine notwendige, aber, wie das Beispiel f (x) = x3 zeigt, nicht hinreichende Voraussetzung für das Vorliegen eines lokalen Extremums von f an der Stelle a. Dies war schon 1684 Gottfried Wilhelm Leibniz bekannt. An einer Stelle eines lokalen Extremums hat unter diesen Voraussetzungen f also eine horizontale Tangente. Hinreichend für das Vorliegen eines lokalen Extremums von f an der Stelle a ist nach einem Satz von Augustin-Louis Cauchy (1821), daß die Ableitung von f in einer Umgebung der Stelle a existiert und steigend oder fallend durch 0 geht: Wenn es ein ϵ > 0 gibt mit \begin{eqnarray}{f}^{{\prime}}(x)\,\,\,\,\left\{\begin{array}{lll}\lt & 0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\,\,\,x\in (a-\varepsilon, a)\\ \gt & 0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\,\,\,x\in (a,a+\varepsilon )\end{array},\right.\end{eqnarray} so hat f an der Stelle a ein strenges lokales Mini mum. Gibt es ein ϵ > 0 mit \begin{eqnarray}{f}^{{\prime}}(x)\,\,\,\,\left\{\begin{array}{lll}\gt & 0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\,\,\,x\in (a-\varepsilon, a)\\ \lt & 0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\,\,\,x\in (a,a+\varepsilon )\end{array},\right.\end{eqnarray} so hat f an der Stelle a ein strenges lokales Maximum. Auf die Existenz von f′(a) kann, Stetigkeit von f an der Stelle a vorausgesetzt, jeweils sogar verzichtet werden. Diese Bedingungen sind hinreichend für das Vorliegen eines strengen lokalen Extremums, aber nicht notwendig, wie zum Beispiel die Grüss-Funktion zeigt. Der Satz von Maclaurin (Maclaurin, Satz von) erlaubt, aus den höheren Ableitungen von f an der Stelle a Aussagen über das Wachstumsverhalten zu ziehen.

Ist a kein innerer Punkt von D, so ist f′ (a) = 0 nicht notwendig für das Vorliegen eines lokalen Extremums von f an der Stelle a, wie man etwa an f : [0, 1] → ℝ mit f (x) = x und a = 0 oder a = 1 sieht. Randstellen des Definitionsbereichs müssen daher in der Regel gesondert untersucht werden.

Der Fall D ∈ ℝn mit n ≥ 1: Hat im Fall D ∈ ℝn die Funktion f : D → ℝ ein lokales Extremum an der inneren Stelle aD, und ist f an der Stelle a nach allen Veränderlichen partiell differenzierbar, so gilt grad f (a) = 0, bei Differenzierbarkeit von f an der Stelle a also f′(a) = 0. Ist f an der Stelle a zweimal stetig differenzierbar und f′ (a) = 0, so hat f bei positiver bzw. negativer Definitheit der Hesse-Matrix Hf (a) an der Stelle a ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum. Ist Hf (a) indefinit, so hat f an der Stelle a kein lokales Extremum.

Praktisches Vorgehen: Hat man die lokalen Extrema einer differenzierbaren Funktion f : D → ℝ zu bestimmen, so ermittelt man zunächst die sog. kritischen Stellen von f, d. h. die Stellen a im Inneren von D, die dem notwendigen Kriterium grad f (a) = 0 genügen. Auf diese versucht man die obigen hinreichenden Kriterien oder andere Überlegungen anzuwenden. Sodann untersucht man den Rand von D nach lokalen Extrema von f.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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