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Lexikon der Mathematik: Quersumme

Summe der Ziffern einer natürlichen Zahl.

Genauer ist die Quersumme der g-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl

\begin{eqnarray}n=({z}_{k}\ldots {z}_{1}{z}_{0})g=\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{z}_{j}{g}^{j}\end{eqnarray}

mit g-adischen Ziffern z0, …, zk ∈ {0, …, g − 1} gegeben durch die Ziffernsumme

\begin{eqnarray}{Q}_{g}(n):=\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{z}_{j}={z}_{0}+{z}_{1}+{z}_{2}+\ldots.\end{eqnarray}

Man nennt Qg (n) auch die Quersumme von n zur Basis g.

Analog hierzu definiert man die alternierende Quersumme

\begin{eqnarray}{A}_{g}(n):=\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{(-1)}^{j}{z}_{j}={z}_{0}-{z}_{1}+{z}_{2}-\ldots.\end{eqnarray}

Die Quersumme der g-adischen Darstellung einer Zahl eignet sich zum Testen der Teilbarkeit durch g − 1, denn es gilt

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{Q}_{g}(n)\equiv n & \mathrm{mod}\,\,\,(g-1),\end{array}\end{eqnarray}

wie man aus g ≡ 1 mod (g − 1) mit Hilfe der Restklassenarithmetik herleiten kann.

In der üblichen Dezimaldarstellung ist g = 10 (oft setzt man bei der Verwendung des Begriffs ”Quersumme“ implizit diese Situation voraus); daher kann man Teilbarkeit durch 9 mittels der Quersumme testen (Neunerprobe). Eine andere Anwendung ist die Dreierprobe.

Analog hierzu ergibt die alternierende Quersumme wegen

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{A}_{g}(n)\equiv n & \mathrm{mod}\,\,\,(g+1)\end{array}\end{eqnarray}

einen Test auf Teilbarkeit durch g + 1; ein Beispiel dafür ist die Elferprobe. Indem man auch (alternierende) Quersummen höherer Stufen betrachtet, erhält man weitere Teilbarkeitsproben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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