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Lexikon der Mathematik: regulärer lokaler Ring

ein lokaler Noetherscher Ring A mit dem Maximalideal 𝔪, der eine (und damit alle) der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

  • \({\mathfrak{m}}\) wird durch eine reguläre Folge erzeugt.
  • \(g{r}_{{\mathfrak{m}}}(A)\) (graduierter Ring) ist ein Polynomring über \(A/{\mathfrak{m}}\).
  • Jeder endlich erzeugte A-Modul M besitzt eine endliche freie Auflösung, d. h. es gibt einen Komplex \begin{eqnarray}0\to {F}_{n}\mathop{\to }\limits^{\partial }{F}_{n-1}\to \cdots \mathop{\to }\limits^{\partial }{F}_{0}\end{eqnarray} aus freien Moduln \({F}_{\nu }(\partial \partial =0)\) mit \({H}_{p}(F_\bullet )=0\) für p > 0 und \({H}_{0}(F_\bullet )\simeq M\).
  • Der A-Modul \(A/{\mathfrak{m}}\) besitzt eine endliche freie Auflösung.
  • Ist (x1,…xn) eine Minimalbasis von \({\mathfrak{m}}\), so ist der Koszulkomplex (reguläre Folge) K(x1, …, xn, A) eine freie Auflösung von \(A/{\mathfrak{m}}\).
  • Aus Eigenschaft (iii) folgt ζ. B., daß für jedes Primideal \({\mathfrak{p}}\) ⊂ A eines regulären lokalen Ringes auch die Lokalisierung \({A}_{{\mathfrak{p}}}\) regulärer lokaler Ring ist.

    Ein beliebiger kommutativer Noetherscher Ring A heißt regulär, wenn für jedes Primideal \({\mathfrak{p}}\) ⊂ A die Lokalisierung \({A}_{{\mathfrak{p}}}\) ein regulärer lokaler Ring ist.

    Die homologische Dimension eines endlich erzeugten A-Moduls W ist definiert als \(dh(M)=\inf \{\ell|\) es gibt eine Auflösung von M durch projektive A-Moduln}.

    Für einen regulären lokalen Ring A gilt dann dhA(M) ≤ dimA für jeden endlich erzeugten A-Modul M, und \(d{h}_{A}(A/{\mathfrak{m}})=\dim (A)\).

    Reguläre lokale Ringe sind faktoriell. Für algebraische Schemata X über einem vollkommenen Körper oder für komplexe Räume gilt: X ist genau dann glatt in xX, wenn \({{\mathcal{O}}}_{X}{}_{,x}\) ein regulärer lokaler Ring ist. Über einem beliebigen Körper k ist die Eigenschaft „glatt“ im allgemeinen stärker als „regulär“.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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