ein lokaler Noetherscher Ring A mit dem Maximalideal 𝔪, der eine (und damit alle) der folgenden äquivalenten Eigenschaften hat:

Aus Eigenschaft (iii) folgt ζ. B., daß für jedes Primideal \({\mathfrak{p}}\) ⊂ A eines regulären lokalen Ringes auch die Lokalisierung \({A}_{{\mathfrak{p}}}\) regulärer lokaler Ring ist.

Ein beliebiger kommutativer Noetherscher Ring A heißt regulär, wenn für jedes Primideal \({\mathfrak{p}}\) ⊂ A die Lokalisierung \({A}_{{\mathfrak{p}}}\) ein regulärer lokaler Ring ist.

Die homologische Dimension eines endlich erzeugten A-Moduls W ist definiert als \(dh(M)=\inf \{\ell|\) es gibt eine Auflösung von M durch projektive A-Moduln}.

Für einen regulären lokalen Ring A gilt dann dh_A(M) ≤ dimA für jeden endlich erzeugten A-Modul M, und \(d{h}_{A}(A/{\mathfrak{m}})=\dim (A)\).

Reguläre lokale Ringe sind faktoriell. Für algebraische Schemata X über einem vollkommenen Körper oder für komplexe Räume gilt: X ist genau dann glatt in x ∈ X, wenn \({{\mathcal{O}}}_{X}{}_{,x}\) ein regulärer lokaler Ring ist. Über einem beliebigen Körper k ist die Eigenschaft „glatt“ im allgemeinen stärker als „regulär“.