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Lexikon der Mathematik: Tschebyschew, Satz von

heute meist für den folgenden Satz über das asymptotische Verhalten der Primzahlfunktion π(x) verwendete Bezeichnung:

Es gibt positive Konstanten A und B derart, daß für x ≥ 2 gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}A\cdot \displaystyle\frac{x}{\mathrm{log}x}\lt \pi (x)\lt B\cdot \frac{x}{\mathrm{log}x}.\end{array}\end{eqnarray}

Für die Konstanten \(A=\frac{1}{4}\mathrm{log}2\) und B = 6 log 2 ist dieser Satz verhältnismäßig einfach zu beweisen.

Tschebyschew publizierte 1851 eine Arbeit mit dem Titel Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée und 1852 eine weitere Arbeit Mémoire sur les nombres premiers, die Landau folgendermaßen einschätzte: „Im allgemeinen Primzahlproblem hat nach Euklid erst Tschebyschew die ersten weiteren sicheren Schritte gemacht und wichtige Sätze bewiesen“. Die Ergebnisse von Tschebyschew stellen wichtige Vorarbeiten zum Beweis des Primzahlsatzes dar, und aus heutiger Sicht enthalten sie eine Reihe von interessanten und leicht zugänglichen Sätzen zur Primzahlverteilung.

Ein wichtiges Ergebnis der ersten Arbeit ist der oft zitierte Satz, der zugleich eine Vermutung von Legendre widerlegte:

Existiert der Grenzwert \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty}\left(\pi (x)\cdot \frac{\mathrm{log}x}{x}\right),\end{eqnarray}so ist er gleich 1.

Das Hauptergebnis der zweiten Arbeit sind die beiden Ungleichungen \begin{eqnarray}a\le \mathop{\mathrm{lim}\ \inf}\limits_{x\to \infty}\left(\pi (x)\cdot \frac{\mathrm{log}x}{x}\right)\end{eqnarray} mit der Konstanten \begin{eqnarray}a=\mathrm{log}\left(\frac{{2}^{\frac{1}{2}}{3}^{\frac{1}{3}}{5}^{\frac{1}{5}}}{{30}^{\frac{1}{30}}}\right)\approx 0.92129\ldots,\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\ \sup}\limits_{x\to \infty}\left(\pi (x)\cdot \frac{\mathrm{log}x}{x}\right)\le \frac{6}{5}a\approx 1.10555\ldots.\end{eqnarray}

Daraus folgt, daß es zu jedem Paar von Konstanten A < a und \(B\gt \frac{6}{5}a\) ein x0 > 0 derart gibt, daß die Ungleichungskette (1) für xx0 erfüllt ist.

Der Anlaß für Tschebyschews zweite Arbeit war das Bertrandsche Postulat. In diesem Zusammenhang beweisen die Tschebyschewschen Sätze für jedes ϵ > 0 die Aussage \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty}\ (\pi ((1+\varepsilon)x)-\pi (x))=\infty.\end{eqnarray}

Diese Gleichung besagt, daß es zu jedem ϵ > 0 und jeder Schranke q ein x0 > 0 derart gibt, daß für alle xx0 im Intervall \begin{eqnarray}(x,(1+\varepsilon)x]\end{eqnarray} mindestens q Primzahlen liegen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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