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Lexikon der Mathematik: Atomarer Verband

Verband (V, ≤) mit Nullelement, in dem es zu jedem Element vV ein Atom aV gibt, für das av gilt.

Jeder endliche Verband mit wenigstens zwei Elementen ist atomar. Zum einen ist jeder endliche Verband beschränkt, besitzt also ein Nullelement. Zum anderen gibt es zu jedem vom Nullelement verschiedenen Element a0, das selbst kein Atom ist, ein Element a1 mit 0 ≤ a1a0 und 0 ≠ a1a0. Wenn a1 kein Atom ist, so gilt entsprechendes für a1. Die so entstehende Kette a0 > a1 > a2 > … muß nach endlich vielen Schritten mit einem Atom ak, abbrechen.

Ist M eine unendliche Menge, dann ist der dazugehörige Teilmengenverband (\({\mathfrak{P}}(M),\subseteq \)) atomar, da jede nichtleere Teilmenge von M wenigstens eine einelementige Menge umfaßt. Die einelementigen Mengen {m} mit mM bilden die Atome des Teilmengenverbandes \(({\mathfrak{P}}(M),\subseteq )\).

Es gibt aber auch unendliche nach unten beschränkte Verbände, die keine Atome enthalten, wie zum Beispiel die Kette der nichtnegativen reellen Zahlen, die somit auch nicht atomar sein können.

Jeder eindeutig komplementäre atomare Verband (V, ≤) ist isomorph zu einem Teilverband des Teilmengenverbandes \(({\mathfrak{P}}(A),\subseteq )\), wobei A die Menge der Atome von V darstellt. Ist V zudem ein vollständiger Verband, so ist (V, ≤) sogar isomorph zum Teilmengenverband \(({\mathfrak{P}}(A),\subseteq )\). Da jeder Mengenverband ein distributiver Verband ist, folgt aus diesem Satz unmittelbar, daß jeder eindeutig komplementäre atomare Verband eine Boolesche Algebra ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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