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Lexikon der Mathematik: kubische Funktion

eine ganzrationale Funktion (Polynom) vom Grad ≤ 3, d. h. eine Funktion f : ℝ → ℝ, die sich in der Gestalt \begin{eqnarray}f(x)=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d\end{eqnarray}

mit a, b, c, d ∈ ℝ schreiben läßt. f ist dann belie-big oft differenzierbar mit f′(x) = 3ax2 + 2bx + c, f ″(x) = 6ax + 2b, f ‴(x) = 6a und f(k)(x) = 0 für k > 3. Im Fall a = 0 ist f eine quadratische Funktion, im Fall a = b = 0 eine lineare Funktion. Im Fall a ≠ 0 hat f eine einfache (z. B. x(x2 + 1)), oder eine dreifache Nullstelle (z. B. x3), oder eine doppelte und eine einfache Nullstelle (z. B. x2(x − 1)), oder drei einfache Nullstelle (z. B. x(x2 − 1)), die sich mit den Cardanischen Lösungsformeln ermitteln lassen. Ein Spezialfall ist die kubische Parabel.

Im Fall dreier einfacher Nullstellen etwa hat f zwei Extremstellen an den Nullstellen von f′, nämlich ein lokales Minimum und ein lokales Maximum, und eine Wendestelle an der Nullstelle von f ″, also an der Stelle \(-\frac{b}{3a}\).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel kubische Funktion
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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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