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Lexikon der Mathematik: Linearkombination

eine Summe der Form

\begin{eqnarray}{\alpha }_{1}{v}_{1}+\cdots +{\alpha }_{n}{v}_{n},\end{eqnarray}

wobei die vi Elemente eines Vektorraumes V über dem Körper 𝕂 sind, und die αi Skalare aus 𝕂.

Ein Vektor vV, zu dem α1, …, αn ∈ 𝕂 existieren mit v = α1v1 +···+ αnvn, wird als Linearkombination der Vektoren v1, …, vn bezeichnet; sind hier alle αi = 0, spricht man von einer trivialen Linearkombination, im anderen Fall von einer nichttrivialen.

Ein Vektor vV heißt Linearkombination einer nicht-leeren Teilmenge MV, wenn er Linearkombination endlich vieler Vektoren aus M ist; ein Vektor vV heißt Linearkombination einer Familie (vi)iI von Vektoren aus V, falls eine Familie (αi)iI von Skalaren aus 𝕂 so existiert, daß gilt:

\begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{i\in I;\,{\alpha }_{1}\ne 0}{\alpha }_{1}{v}_{1},\end{eqnarray}

wobei nur endlich viele αi von Null verschieden sind. Eine Linearkombination über eine leere Familie von Vektoren ergibt immer den Nullvektor: Σi∈∅αivi = {0}. Betrachtet man die Menge M als selbst indizierte Familie, d. h. M = (v)vM, so fallen beide Definitionen zusammen. Die Menge aller Linearkombinationen einer Familie von Vektoren eines Vektorraumes V ist stets ein Unterraum von V, der bezüglich Inklusion kleinste Unterraum von V, der alle Vektoren der Familie enthält.

Man vergleiche auch die Stichwörter linear abhängig, linear unabhängig, lineare Hülle.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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