ist zunächst – über die Partialsummen – ein Spezialfall der Multiplikation von (konvergenten) Folgen:

Sind \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) und \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{b}_{v}\) konvergente Reihen reeller oder komplexer Zahlen mit Reihenwerten A bzw. B, so gilt mit den Partialsummen

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}{A}_{n}:=\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{a}_{v},\quad\quad {B}_{n}:=\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{b}_{v}\quad\quad\quad (n\in {{\mathbb{N}}}_{0})\\ {A}_{n}{B}_{n}\to AB.\end{array}\end{eqnarray}

Dabei ist \({A}_{n}{B}_{n}=\left(\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{a}_{v}\right)\left(\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{b}_{v}\right)=\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{p}_{v}\) mit

\begin{eqnarray}{p}_{v}:=\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}\lambda ,\kappa \in {{\mathbb{N}}}_{0}\\ \max (\lambda ,\kappa )\end{array}}{a}_{\lambda }{b}_{\kappa },\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}AB=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{p}_{v}.\end{eqnarray}

Für viele Zwecke, insbesondere bei Potenzreihen, ist die Anordnung nach „Schrägzeilen“ (Cauchy- Produkt) besser geeignet:

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{I}_{n} & := & \{(\lambda ,\kappa )\in {{\mathbb{N}}}_{0}\times {{\mathbb{N}}}_{0}:\lambda +\kappa =n\}\\ & = & \{(v,n-v):{{\mathbb{N}}}_{0}\ni v\le n\}\quad\quad\quad (n\in {{\mathbb{N}}}_{0}).\end{array}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\text{Mit}\quad {c}_{n}:=\displaystyle \sum _{(\lambda ,\kappa )\in {I}_{n}}{a}_{\lambda }{b}_{\kappa }=\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{a}_{v}\quad {b}_{n-v}\end{eqnarray}

Sind \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\)und \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{b}_{v}\)absolut konvergent, dann ist die Cauchy-Produktreihe \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\)konvergent, und es gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_{n}=AB=\left(\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}\right)\left(\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{b}_{v}\right).\end{eqnarray}

Allgemeiner gilt: Sind die beiden Reihen \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) und \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{b}_{v}\) absolut konvergent, so konvergiert jede ihrer Produktreihen gegen \(\left(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\right)\left(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{b}_{v}\right)\).

Der Satz gilt nicht, wenn die beiden Reihen \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) und \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{b}_{v}\) nur (bedingt) konvergieren. Ein Standard-Beispiel dazu ist gegeben durch:

\begin{eqnarray}{a}_{v}:={b}_{v}:=\frac{{(-1)}^{v}}{\sqrt{v+1}}.\end{eqnarray}

Die Konvergenz von \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\) mit

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_{n}=AB\end{eqnarray}

Als Anwendung des Abelschen Grenzwertsatzes erhält man: Ist neben \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) und \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{b}_{v}\) auch \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_{n}\) konvergent, so gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_{n}=AB=\left(\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}\right)(\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{b}_{v}).\end{eqnarray}