für eine reellwertige Abbildung f einer reellen Variablen und eine Stelle a aus dem Definitionsbereich D von f die Aussage: Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein δ > 0 derart, daß | f (x)− f (a)| < ϵ für alle x ∈ D mit |x − a| < δ gilt.

Ist a innerer Punkt von D, so ist f in a genau dann stetig, wenn f in a rechts- und linksseitig stetig ist.

Ist a isolierter Punkt des Definitionbereiches, so ist f stets stetig in a. Ist a Häufungspunkt von D, so besteht zwischen der Stetigkeit von f in a und der Existenz des Grenzwertes an der Stelle a (Grenzwerte einer Funktion) der einfache Zusammenhang:

f ist genau dann stetig an der Stelle a, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to a}f(x)=f(a),\end{eqnarray}

wenn also der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist.

Aus der Stetigkeit der Grundoperationen liest man unmittelbar die folgenden Grundregeln ab:

Sind f und g stetig an der Stelle a, so sind Summe f + g, Differenz f − g, Produkt f · g und der Betrag | f | von f stetig an der Stelle a. Ist noch g(a) ≠ 0, so ist auch der Quotient f/g, der zumindest in einer geeigneten Umgebung von a definiert ist, stetig an der Stelle a.

Es seien jetzt allgemeiner X und Y nichtleere Mengen, D ⊂ X, f : D → Y und a ∈ D.

Sind X und Y metrische Räume mit Metriken ϱ und σ, so kann die o. a. Definition verallgemeinert werden zu: Zu jedem ϵ > 0 existiert ein δ > 0 derart, daß σ(f (x), f (a)) < ϵ für alle x ∈ D mit ϱ(x, a) < δ gilt.

Sind noch allgemeiner X und Y topologische Räume, so lautet die Forderung: Zu jeder Umgebung V von f (a) existiert eine Umgebung U von a derart, daß \begin{eqnarray}f(U\cap D)\subset V.\end{eqnarray}

Dies ist äquivalent zu: Das Urbild f⁻¹ (V) jeder Umgebung V von f (a) ist Umgebung von a.

Eine Funktion f ist in einem Punkt a ihres Definitionsbereiches D genau dann stetig, wenn für jede Folge (xn) in D die Konvergenz x_n → a die Konvergenz der Folge der Bilder (f (x_n)) gegen f (a) nach sich zieht (Folgenkriterium für Stetigkeit).

Bei diesem Satz ist zunächst an reellwertige Funktionen einer reellen Variablen gedacht. Er gilt aber entsprechend auch für eine Abbildung von einem metrischen Raum in einen topologischen Raum, und noch allgemeiner von einem topologischen Raum mit dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (Abzählbarkeitsaxiome) in einen beliebigen topologischen Raum.

Dieser Satz ist in beiden Richtungen nützlich: Weiß man schon etwas über entsprechende Folgen-konvergenz, so kann man Stetigkeit erschließen. Hat man andererseits die Stetigkeit einer Funktion, so erhält man Konvergenzaussagen für passende Folgen (Stetigkeit).