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Lexikon der Mathematik: Weibull-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine stetige Zufallsgröße.

Ihre Verteilungsfunktion hängt von zwei Parametern (α, λ) ab und hat die Gestalt \begin{eqnarray}F(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-{e}^{-\lambda t^{\alpha}} & {\rm{f}}\ddot{{\rm{u}}}{\rm{r}}\,t\ge 0,\\ 0 & \mathrm{sonst},\end{array}\right.\end{eqnarray} wobei α > 0, λ > 0. Daraus ergibt sich für die Dichtefunktion \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda \alpha {t}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda t^{\alpha} } & {\rm{f}}\ddot{{\rm{u}}}{\rm{r}}\,t\ge 0,\\ 0 & \mathrm{sonst}.\end{array}\right.\end{eqnarray} Der Erwartungswert und die Varianz einer Weibullverteilten Zufallsgröße X ergeben sich gemäß \begin{eqnarray}{EX}={\lambda }^{-\frac{1}{\alpha }}\Gamma \left(\frac{1}{\alpha }+1\right),\\ Var(X)={\lambda }^{-\frac{2}{\alpha }}\left(\Gamma \left(\frac{2}{\alpha }+1\right)-{\left(\Gamma {\left(\frac{1}{\alpha }+1\right)}\right)}^{2}\right),\end{eqnarray} und der Median ist \begin{eqnarray}{\left(\frac{ln(2)}{\lambda }\right)}^{\frac{1}{\alpha }}.\end{eqnarray}

Dabei ist Γ(x) die Eulersche Г—Funktion.

Für den Spezialfall α = 1 ergibt sich eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ, für α = 2 eine Rayleigh-Verteilung mit dem Parameter \(\frac{1}{\lambda }\).

Die Weibull-Verteilung wird häufig zur Beschreibung von Lebensdauern (Lebensdauerverteilung) in der Zuverlässigkeitstheorie angewendet.

Die Weibull-Verteilung wurde erstmals 1939 von Weibull zur Beschreibung von Materialermüdungserscheiunungen verwendet. Außerdem erwies sie sich als günstig zur Beschreibung von Ausfällen technischer Bauelemente. Die Ausfallrate r(t) der Weibull-Verteilung ergibt sich zu \begin{eqnarray}r(t)=\lambda \alpha {t}^{\alpha -1}.\end{eqnarray}

Für α > 1 wächst die Ausfallrate monoton, für α = 1 (also für die Exponentialverteilung) ist sie konstant, und für α < 1 ist sie monoton fallend.

Weiterhin findet die Weibull-Verteilung Anwendung in der Versicherungsmathematik: Für α < 1 ist sie subexponentiell und eignet sich gut zur Modellierung von Großschadenverteilungen, für α > 1 konvergiert die Dichte sehr schnell, was die Verteilung zur Modellierung von Kleinschäden interessant macht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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