Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: zentraler Grenzwertsatz

bedeutendes Resultat der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Der zentrale Grenzwertsatz liefert die theoretische Begründung für das Phänomen, daß sich bei der additiven Überlagerung vieler kleiner unabhängiger Zufallseffekte zu einem Gesamteffekt zumindest approximativ eine Normalverteilung ergibt, wenn keiner der einzelnen Effekte einen dominierenden Einfluß auf die Gesamtvarianz besitzt. Ist (Xn)n∈ℕ eine unabhängige Folge von auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) definierten reellen, quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen mit positiven Varianzen, so sagt man, daß der zentrale Grenzwertsatz für die Folge gilt, wenn die standardisierten Summenvariablen \begin{eqnarray}{S}_{n}:=\frac{{\sum }_{i=1}^{n}({X}_{i}-E({X}_{i}))}{\sqrt{{V\alpha r}({X}_{1})+\cdots V\alpha r({X}_{n})}}\end{eqnarray} in Verteilung gegen eine standardnormalverteilte Zufallsvariable konvergieren, oder, äquivalent dazu, die Folge (PSn )n∈ℕ der Verteilungen der Sn schwach gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Gilt der zentrale Grenzwertsatz für eine Folge (Xn)n∈ℕ, so konvergieren die Verteilungsfunktionen FSn der Sn gleichmäßig gegen die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung.

Hinreichend für die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes ist die im Jahre 1901 von A.M. Ljapunow angegebene und nach ihm benannte Ljapunow-Bedingung. Eine weniger restriktive Bedingung für die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes wurde 1922 von J. W. Lindeberg gefunden (Lindeberg-Bedingung). Der Satz von Lindeberg-Feller (Lindeberg-Feller, Satz von) zeigt, daß die Lindeberg-Bedingung auch notwendig für die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes ist, wenn die Folge (Xn)n∈ℕ zusätzlich die sogenannte Fellersche Bedingung erfüllt.

Besitzen die Zufallsvariablen Xn alle die gleiche Verteilung, so ist die Lindeberg-Bedingung erfüllt und folglich gilt der zentrale Grenzwertsatz für die Folge (Xn)n∈ℕ. In dieser Situation ergibt sich für den Spezialfall, daß es sich bei der Verteilung derXn um die Bernoulli-Verteilung handelt, der Satz von de Moivre-Laplace (de Moivre-Laplace, Grenzwertsatz von).

Die Konvergenzgeschwindigkeit, mit der die Verteilungen der standardisierten Summen Sn gegen die Standardnormalverteilung streben, kann mit Hilfe des Satzes von Berry-Esséen ( Berry-Esséen, Satz von) abgeschätzt werden.

[1] Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie (4. Aufl.). De Gruyter Berlin, 1991.
[2] Gnedenko, B. W.: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie (10. Aufl.). Verlag Harri Deutsch Thun, 1997.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos