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Lexikon der Mathematik: iterierte Integration

Zurückführen eines Integrals über einen mehrdimensionalen Bereich auf ein Mehrfachintegral und letztlich auf eindimensionale Integration.

Dabei wird der Satz von Fubini benutzt, der in einer einfachen Form lautet: Sind I und J abgeschlossene reelle Intervalle, ist \(f:I\times J\to {\mathbb{R}}\) Riemann- oder Lebesgue-integrierbar, und existiert \(g(x):=\mathop{\int }_{J}f(x,y)\,dy\) für alle xI, dann ist \(I\to {\mathbb{R}}\) Riemann- bzw. Lebesgue-integrierbar und es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\mathop{\int }\limits_{I\times J}f(x,y)d(x,y) & =\mathop{\int }\limits_{I}g(x)\,dx\\ & =\mathop{\int }\limits_{I}\left(\mathop{\int }\limits_{J}f(x,y)\,dy\right)dx.\end{array}\end{eqnarray} Eine weitere Aussage über die Existenz iterierter Lebesgue-Integrale ist der Satz von Tonelli, der in einer einfachen Fassung besagt: Sind I und J reelle Intervalle, ist \(f:I\times J\to {\mathbb{R}}\) meßbar, und existiert mindestens eines der iterierten Lebesgue-Integrale \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits_{I}\left(\mathop{\int }\limits_{J}|f(x,y)|\,dy\right)dx,\,\mathop{\int }\limits_{J}\left(\mathop{\int }\limits_{I}|f(x,y)|\,dx\right)dy,\end{eqnarray} dann ist f Lebesgue-integrierbar, und die beiden iterierten Lebesgue-Integrale von f existieren und sind gleich dem Integral von f: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{I}\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{J}f(x,y)\,dx\right)dy & =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{I\times J}f(x,y)d(x,y)\\ & =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{J}\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{I}f(x,y)\,dy\right)dx.\end{array}\end{eqnarray} Der Satz von Fichtenholz ist ein ähnliches Kriterium für die Vertauschbarkeit bei iterierter Riemann-Integration: Sind I und J abgeschlossene reelle Intervalle, ist \(f:I\times J\to {\mathbb{R}}\) beschränkt, existiert \(\mathop{\int }_{J}f(x,y)\,dy\) für alle xI und \(\mathop{\int }{I}f(x,y)\,dy\) für alle yJ, dann existieren die beiden iterierten Riemann-Integrale von f und sind gleich.

Benutzt wird iterierte Integration z. B. beim Berechnen von Flächen oder Volumina mittels Mehrfachintegralen, insbesondere auch bei Verwendung krummliniger Koordinaten. Das Cavalieri-Prinzip und die Guldin-Regeln beruhen ebenfalls auf iterierter Integration.

Man spricht auch von iterierter Integration, wenn eine Funktion einer Variablen mehrfach integriert wird, d. h. wenn man etwa für eine stetige Funktion \(f:[a,b]\to {\mathbb{R}}\) wobei −∞ < a < b < ∞ sei, mittels \(\text{I}f(x):=\mathop{\mathop{\int }^{x}_{a}}f({x}_{1})d{x}_{1}\) den Integraloperator I definiert und damit für n ∈ ℕ \begin{eqnarray}{I}^{n}f(x)=\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{a}\mathop{\mathop{\int }\limits^{{x}_{1}}}\limits_{a}\cdots \mathop{\mathop{\int }\limits^{{x}_{n-1}}}\limits_{a}f({x}_{n})d{x}_{n}\ldots d{x}_{1}\end{eqnarray} betrachtet. Zur Verallgemeinerung von Dn, des zur Bildung höherer Ableitungen iterierten Differentialoperators D, setzt man D−n := In für n ∈ \({\mathbb{N}}\). In der gebrochenen Analysis wird Dq auch für nicht- ganzzahlige q definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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