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Lexikon der Mathematik: Poisson-Verteilung

für λ ≥ 0 das durch die diskrete Dichte \begin{eqnarray}f:{{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}\ni k\to \frac{{\lambda}^{k}}{k!}{e}^{-\lambda}\in [0,1]\end{eqnarray} eindeutig bestimmte Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge 𝔓(ℕ0).

Dieses meist als P(λ)-Verteilung bezeichnete Wahrscheinlichkeitsmaß heißt die Poisson-Verteilung mit oder zum Parameter λ. Besitzt die Zufallsvariable X eine P(λ)-Verteilung, so gilt E(X) = Var(X) = λ. Der Parameter λ ist also zugleich Erwartungswert und Varianz von X. Eine Zufallsvariable X mit Werten in ℕ0 besitzt genau dann eine P(λ)-Verteilung, wenn \begin{eqnarray}\lambda E(g(X+1))-E(Xg(X))=0\end{eqnarray} für jede beschränkte Funktion g : ℕ0 → ℝ gilt. Die Summe zweier unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen ist wieder Poisson-verteilt.

Für kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten kann die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung approximiert werden (Poisson, Grenzwertsatz von).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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