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Lexikon der Mathematik: Rouché, Satz von

funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei \(G\subset {\mathbb{C}}\)ein Gebiet und f, g in G holomorphe Funktionen. Weiter sei γ eine rektifizierbare Jordan-Kurve in G derart, daß γ nullhomolog in G ist und \begin{eqnarray}|f(\zeta )+g(\zeta )|\lt |f(\zeta )+g(\zeta )|,\quad\zeta \in \gamma\end{eqnarray}gilt. Dann haben f und g gleich viele Nullstellen in Int γ, wobei die Nullstellenordnung zu berücksichtigen ist, und Int γ das Innere eines geschlossenen Weges bezeichnet.

In den Anwendungen benutzt man den Satz von Rouché zur Bestimmung der Nullstellenzahl einer Funktion f. Dazu ist eine geeignete Vergleichsfunktion g mit bekannter Nullstellenzahl zu wählen derart, daß die Ungleichung (1) erfüllt ist.

Als Beispiel sei hier ein kurzer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra gegeben:

Es sei \begin{eqnarray}f(z)={z}^{n}+{a}_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +{a}_{1}z+{a}_{0}\end{eqnarray} mit n > 1 ein beliebiges Polynom. Man wählt g(z) = −zn und für γ die Kreislinie mit Mittelpunkt 0 undRadius r > 0. Für hinreichend großes r erhält manleicht \begin{eqnarray}|f(\zeta )+g(\zeta )|\lt {r}^{n}=|g(\zeta )|\le |f(\zeta )+g(\zeta )|\end{eqnarray} für |ζ| = r. Die einzige Nullstelle von g ist z0 = 0 mit der Nullstellenordnung n. Also hat f innerhalb von γ genau n und damit mindestens eine Nullstelle.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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