lautet:

Es sei B = (b_i)_i∈I eine Basis des Vektorraumes V. Dann läßt sich jede linear unabhängige Familie (b_i)_i∈Jvon Vektoren aus V durch Hinzunahme geeigneter Vektoren aus B zu einer Basis von V ergänzen:\begin{eqnarray}\exists {I}^{\prime}\subset I \,so,\,da {\it\unicode{x00df}}\,{B}^{\prime}:={({b}_{i})}_{i\in J\cup {I}^{\prime}}\end{eqnarray}eine Basis von V ist.

Ist V endlich-dimensional, so lautet der Austauschsatz einfach:

Sind die Vektoren a₁, …, a_m linear unabhängig im Vektorraum V, und ist B = (b₁, …, b_n) eine Basis von V, so ist m ≤ n, und es gibt n – m Vektoren aus B, die die Vektoren a₁, …, a_m zu einer Basis von V ergänzen.

Eine andere Formulierung lautet:

Ist B = (b₁, …, b_n) eine Basis des Vektorraums V, und ist v = α₁b₁ + · · · α_nb_n ein Vektor aus V mit α_k ≠ 0 (k ∈ {1,…, n}), so ist auch (b₁, …, b_k−1, v, b_k+1, …, b_n) eine Basis von V.