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Lexikon der Mathematik: Steinitzscher Austauschsatz

lautet:

Es sei B = (bi)iI eine Basis des Vektorraumes V. Dann läßt sich jede linear unabhängige Familie (bi)iJvon Vektoren aus V durch Hinzunahme geeigneter Vektoren aus B zu einer Basis von V ergänzen:\begin{eqnarray}\exists {I}^{\prime}\subset I \,so,\,da {\it\unicode{x00df}}\,{B}^{\prime}:={({b}_{i})}_{i\in J\cup {I}^{\prime}}\end{eqnarray}eine Basis von V ist.

Ist V endlich-dimensional, so lautet der Austauschsatz einfach:

Sind die Vektoren a1, …, am linear unabhängig im Vektorraum V, und ist B = (b1, …, bn) eine Basis von V, so ist mn, und es gibt nm Vektoren aus B, die die Vektoren a1, …, am zu einer Basis von V ergänzen.

Eine andere Formulierung lautet:

Ist B = (b1, …, bn) eine Basis des Vektorraums V, und ist v = α1b1 + · · · αnbn ein Vektor aus V mit αk ≠ 0 (k ∈ {1,…, n}), so ist auch (b1, …, bk−1, v, bk+1, …, bn) eine Basis von V.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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