Lexikon der Mathematik: symmetrische Matrix
reelle quadratische Matrix A mit der Eigenschaft
(At bezeichnet die transponierte Matrix zu A). Für jede quadratische Matrix B ist B + Bt symmetrisch, AtA ist für jede beliebige Matrix A symmetrisch. Die symmetrischen (n × n)-Matrizen repräsentieren gerade die symmetrischen Bilinearformen auf einem n-dimensionalen Vektorraum.
Jede symmetrische Matrix S ist zu einer Diagonalmatrix D = (dij) ähnlich, d. h., es existiert eine reguläre Matrix K mit
Speziell kann K so gewählt werden, daß gilt: \({d}_{11}= \ldots = {d}_{{r}_{1}{r}_{1}}=1\), \({d}_{{r}_{1}+1,{r}_{1}+1}=\cdots ={d}_{{r}_{2}{r}_{2}}=-1\), dii = 0 sonst; hierbei sind r1 und r2 eindeutig bestimmte natürliche Zahlen.
Das charakteristische Polynom einer symmetrischen Matrix A hat nur reelle Nullstellen, A also nur reelle Eigenwerte, Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Durch endlich viele orthogonale Ähnlichkeitstransformationen läßt sich eine symmetrische Matrix stets in eine Tridiagonalmatrix überführen.
Ein Endomorphismus f : V → V auf einem endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum (V, 〈·, ·〉) ist genau dann symmetrisch (d. h. f ∗ existiert und f = f ∗), wenn f bezüglich einer Orthonormalbasis von V durch eine symmetrische Matrix repräsentiert wird.
Die Menge aller reellen symmetrischen (n × n)-Matrizen bildet einen Unterraum der Dimension \(\frac{1}{2}n(n+1)\) des Vektorraumes aller reellen (n × n)-Matrizen.
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