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Lexikon der Mathematik: Kähler-Einstein-Metrik

spezielle Kähler-Metrik.

Sei X eine kompakte Kählersche Mannigfaltigkeit. Die Bilder der Chern-Klassen von X (d. h. des Tangentialbündels) in H* (X, ℝ) lassen sich durch die Krümmung F des Levi-Civita-Zusammenhanges ausdrücken. Insbesondere ist \begin{eqnarray}{\gamma }_{1}=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi }Tr(F)\end{eqnarray} eine 2-Form, die die erste Chern-Klasse repräsentiert. (Für Kählersche Mannigfaltigkeiten hängt γ1 mit der Ricci-Krümmung zusammen durch \begin{eqnarray}Ric(v,w)=-2\pi \sqrt{-}1{\gamma }_{1}(v,Jw).)\end{eqnarray}γ1 heißt die zur Kähler-Metrik oder Kähler-Form gehörige erste Chern-Form.

Die Kähler-Metrik heißt Kähler-Einstein-Metrik, wenn γ1 proportional zur Kähler-Form ist.

Indem man eventuell die Kähler-Metrik um einen konstanten Faktor abändert, führt das auf die Fälle:

  1. γ1 ist Kähler-Form,
  2. γ1 = 0,
  3. γ1 ist Kähler-Form.

Da γ1 die erste Chern-Klasse von \({K}_{X}^{-1}\) ist, bedeutet dies im Falle (i) bzw. (iii), daß \({K}_{X}^{-1}\) bzw. KX ampel ist, also X eine Fano-Varietät bzw. algebraische Varietät vom allgemeinen Typ (Kodaira-Dimension). Es gelten folgende Theoreme:

  1. (Calabi, Yau): Sei X kompakte Kählersche Mannigfaltigkeit und φ die Kähler-Form. Zu jeder reellen 2-Form γ, die die erste Chern-Klasse in H2(X, ℝ) repräsentiert, gibt es genau eine Kählerform in der de Rham Kohomologie-Klasse [φ] von φ mit γ als zugehöriger 1-ter Chern-Form.
  2. (Aubin, Yau): Jede kompakte komplexe Mannigfaltigkeit mit amplem kanonischen Bündel besitzt eine bis auf Homothetie eindeutig bestimmte Kähler-Einstein-Metrik.

Im Falle c1(X) = 0 (in H2(X, ℝ)) gibt es also Kähler-Einstein-Metriken, und es gilt:

  1. (3) (Bogomolov, Beauville, Kobayashi): Bis auf eine endliche unverzweigte Überlagerung ist eine kompakte Kählersche Mannigfaltigkeit X mit c1(X) = 0 (in H2(X, ℝ)) Produkt eines komplexen Torus (Klassifikation von Flächen) mit Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und holomorph symplektischen Mannigfaltigkeiten.

Holomorph symplektische Mannigfaltigkeiten sind hier kompakte einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten mit einer nirgends entarteten holomorphen 2-Form.

Im Falle von Fano-Varietäten gibt es im allgemeinen keine Kähler-Einstein-Metrik. Eine notwendige Bedingung für die Existenz von Kähler-Einstein- Metriken ist, daß die Lie-Algebra holomorpher Vektorfelder auf X eine reduktive Lie-Algebra ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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