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Lexikon der Mathematik: Reflexionsprinzip

Bezeichnung für die im folgenden Satz formulierte Symmetrieeigenschaft der Brownschen Bewegung.

Es sei \((\Omega,{\mathfrak{A}},P)\)ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Bt)t≥0 eine an eine Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\)in \({\mathfrak{A}}\)adaptierte normale d-dimensionale Brownsche Bewegung, sowie T eine Stoppzeit bezüglich \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\).

Dann ist auch der Prozeß \({({X}_{t})}_{t\ge 0}\)milt \begin{eqnarray}{X}_{t}=\left\{\begin{array}{ll}{B}_{t} & t\lt T\\ 2{B}_{T}-{B}_{t} & t\ge T\end{array}\right.\end{eqnarray}für alle t ≥ 0 eine Brownsche Bewegung.

Im Falle einer normalen eindimensionalen Brownschen Bewegung \(B={({B}_{t})}_{t\ge 0}\) kann man den Prozeß \(X={({X}_{t})}_{t\ge 0}\) folgendermaßen veranschaulichen: Für jedes ωΩ stimmt der Pfad t → \(t\to {X}_{t(}{}_{\omega )}\) bis zum Zeitpunkt T(ω) mit dem Pfad \(t\to {B}_{t(}{}_{\omega )}\) überein und wird dann an der Achse \(y={B}_{T(\omega )}(\omega )\) gespiegelt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel reflexiver Raum
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Reflexionsprinzip: Pfade von B und X

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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