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Lexikon der Mathematik: globale Flächentheorie

die Untersuchung der Beziehungen zwischen der Krümmung von Flächen im 3-dimensionalen euklidischen Raum ℝ3 und globalen Eigenschaften von \({\mathscr{F}}\).

Bei den globalen Eigenschaften handelt es sich vorrangig um solche, die sich aus der inneren Metrik oder aus der Topologie der Fläche ableiten lassen. Eine besondere Rolle spielen topologische Eigenschaften von geschlossenen Flächen. Letztere definiert man als Flächen \({\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\), die als Teilmengen von ℝ3 abgeschlossen und beschränkt sind, wie zum Beispiel die Oberflächen von dreidimensionalen abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen des ℝ3, wenn diese glatt sind.

Zu den metrischen Fragen gehören die nach der Verbiegbarkeit von Flächen (ineinander verbiegbare Flächen). Während jedes genügend kleine Stück einer regulären Fläche längentreue Formän-derungen zuläßt, muß das für die gesamte Fläche nicht mehr zutreffen, speziell wenn diese geschlossen ist. So ist z. B. die Kugeloberfläche nicht verbiegbar. Es gilt sogar der Satz von H.Liebmann (1899):

Die einzige geschlossene Fläche mit konstanter Gaußscher Krümmung ist die Kugeloberfläche.

Diese Aussage ist stärker als die über die Verbiegbarkeit. Nichtverbiegbarkeit bedeutet Starrheit. Allgemeiner ist der Satz über die Starrheit der Eiflächen.

Zu den globalen Fragen der Flächentheorie zählen auch die Fragen nach der Existenz von geschlossenen Geodätischen, d. h., von geodätischen Kurven auf der Fläche, deren Parameterdarstellungen durch periodische Funktionen gegeben sind.

Ist \({\mathscr{F}}\) eine Eifläche, so wird \({\mathscr{F}}\) durch eine geschlossene Geodätische γ in zwei disjunkte Teile \({\mathscr{F}}_1\) und \({\mathscr{F}}_2\) zerschnitten, und γ hat die geodätische Krümmung kg = 0. Nach der Integralformel von Gauß-Bonnet ist die Gesamtkrümmung jeder der beiden Teile \({\mathscr{F}}_1\) und \({\mathscr{F}}_2\) gleich 2π. Ist \({\mathfrak{n}}: {\mathcal F} \to {S}^{2}\) die Gauß-Abbildung von \({\mathscr{F}}\), so zerlegt die Bildkurve \({\mathfrak{n}}\circ \gamma \) die Kugeloberfläche S2 in zwei Teile gleichen Flächeninhalts 2 π, und die Frage nach geschlossenen Geodätischen auf \({\mathscr{F}}\) erweist sich zu der Frage nach allen geschlossenen Kurven auf S2 gleichwertig, die diese Eigenschaft besitzen.

Es gibt aber auf jeder Eifläche \({\mathscr{F}}\) mindestens drei geschlossene Geodätische. Das Vorhandensein einer einzigen kann man sich anschaulich klar machen. Man stelle sich \({\mathscr{F}}\) als Oberfläche eines konvexen Körpers \({\mathscr{K}}\) vor, nehme einen geschlossenen, nicht dehnbaren Faden der Länge l und schiebe \({\mathscr{K}}\) durch den Faden hindurch. Wenn l unterhalb einer gewissen Schranke liegt, wird das nicht möglich sein. Ist l0 die kleinste aller Längen, für die sich \({\mathscr{K}}\) noch durch den Faden schieben läßt, so liegt der Faden der Länge l0 in einem bestimmten Moment des Durchschiebens überall dem Körper an. Wie die Bindfadenkonstruktion zeigt, liegt er dem Körper dann längs einer geschlossenen Geodätischen an.

Eine Beziehung zwischen der Gaußschen Krümmung k und dem Durchmesser einer geschlossenen Eifläche liefert das folgende Resultat von O. Bonnet aus dem Jahre 1855: Gilt in allen Punkten der Fläche k ≥ 1/d2, so ist der innergeometrische Abstand von je zwei Flächenpunkten kleiner als π.

Metrische Fragen der Flächentheorie sind auch die nach der Existenz von geodätisch vollständigen Flächen mit vorgegebenen Krümmungseigenschaften. Hier ist das Resultat von D. Hilbert zu nennen, daß es im ℝ3 keine geodätisch vollständigen Flächen konstanter negativer Krümmung gibt.

Einer der am frühesten erkannten Zusammenhänge zwischen Topologie und Krümmung ist die Integralformel von Gauß-Bonnet. Diese zeigt, daß eine topologische Größe, nämlich das Geschlecht einer geschlossenen Fläche, völlig durch die Gaußsche Krümmung bestimmt ist.

An dieses Resultat schließt sich der Satz von Hadamard an:

Ist \({\mathscr{F}}\subset {\mathbb{R}}\)eine geschlossene Fläche, deren Gaußsche Krümmung in allen Punkten positiv ist, so gilt: (i) \({\mathscr{F}}\)hat das Geschlecht 0, (ii) die Gauß-Abbildung ist bijektiv, und (iii) \({\mathscr{F}}\)ist ein Ovaloid, d. h., gleich der Menge der Randpunkte eines konvexen Körpers.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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