lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet mit [0, r) ⊂ G für ein r > 1. Weiter sei g eine in G holomorphe Funktion, und für \(z,z+\frac{1}{2},2z\in [0,r)\)gelte \begin{eqnarray}2g(2z)=g(z)+g(z+\frac{1}{2})\end{eqnarray}Dann ist g konstant.

Der Beweis dieses Lemmas beruht auf dem Herglotz-Trick.

Das Lemma von Herglotz kann dazu benutzt werden, um die folgende Charakterisierung der Cotangensfunktion zu beweisen.

Es sei f eine in \({\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}\)holomorphe Funktion, und jedes \(m\in {\mathbb{Z}}\)sei eine einfache Polstelle von f mit Residuum Res (f, m) = 1. Weiter sei f eine ungerade Funktion, und für \(z,z+\frac{1}{2},2z\in {\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}\)gelte \begin{eqnarray}2f(2z)=f(z)+f(z+\frac{1}{2}).\end{eqnarray}Dann gilt f(z) = π cot πz für alle z ∈ \({\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}\).

Neben der obigen sog. additiven Form des Lemmas von Herglotz gibt es noch die folgende multi- plikative Form.

Es sei \(G\subset {\mathbb{C}}\)ein Gebiet mit [0, r) ⊂ G für ein r > 1. Weiter sei g eine in G holomorphe Funktion, \(g(z)\ne 0\)für alle z ∈ [0, r), und für \(z,z+\frac{1}{2},2z\in [0,r)\)gelte \begin{eqnarray}g(2z)=g(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right).\end{eqnarray}Dann gilt g(z) = ae^bz mit a, b ∈ ℂ und ae^b/2 = 1.

Diese Version kann dazu benutzt werden, um die folgende Charakterisierung der Sinusfunktion zu beweisen.

Es sei f eine ungerade ganze Funktion, f(0) = f(1) = 0, f′(0) ≠ 0, f′(1) ≠ 0 und f(t) ≠ 0 für alle t ∈(0, 1). Weiter gelte für z ∈ ℂ \begin{eqnarray}f(2z)=f(z)f\left(z+\frac{1}{2}\right).\end{eqnarray}Dann gilt \(f(z)=2\sin \pi z\)für alle z ∈ ℂ.