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Lexikon der Mathematik: Quadrik

Punktmenge eines n-dimensionalen Raumes, die durch eine Gleichung zweiten Grades (quadratische Gleichung) beschrieben wird.

Im dreidimensionalen affinen Raum sind Quadriken die Flächen zweiter Ordnung und in der Ebene die Kurven zweiten Grades (bzw. Kegelschnitte). Die Bildmenge einer Quadrik bei einer affinen Abbildung des Vektorraumes ist wieder eine Quadrik.

Allgemein handelt es sich bei Quadriken um Hyperflächen (also (n−1)-dimensionale Punktmengen n-dimensionaler Räume), für deren Punkte die Koordinaten (x 1, x 2,…,xn) bezüglich eines affinen Koordinatensystems eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{a}_{ij}{x}_{i}{x}_{j}+\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{b}_{i}{x}_{i}+c=0\end{array}\end{eqnarray}

(mit aij = aji für alle i, j = 1,…,n) beziehungsweise in Matrizenschreibweise \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{x}^{T}Ax+{b}^{T}x+c=0\end{array}\end{eqnarray}

mit der symmetrischen Matrix \(\text{A}={({a}_{ij})}_{i=\mathrm{1...}n}^{j=\mathrm{1...}n}\) und bT = (b 1, b 2,…,bn) erfüllen (wobei mindestens einer der Koeffizienten aij von Null verschieden sein muß, A also keine Nullmatrix sein darf).

Affine Klassifikation der Quadriken. Zur Untersuchung von Quadriken wird das gegebene Koordinatensystem mit Hilfe einer Hauptachsentransformation in ein Koordinatensystem überführt, bezüglich dessen die gegebene Quadrik eine übersichtlichere Gleichung erhält. Zu jeder Quadrik läßt sich ein affines Koordinatensystem angeben, in dem die Quadrik durch eine der folgenden drei Gleichungen in der affinen Normalform dargestellt wird: \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \sum _{i=1}^{p}{x}_{i}^{2}-\displaystyle \sum _{i=p+1}^{r}{x}_{i}^{2}+1=0 & (0\le p\le r,1\le r\le n),\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \sum _{i=1}^{p}{x}_{i}^{2}-\displaystyle \sum _{i=p+1}^{r}{x}_{i}^{2}\text{}=0 & (0\le p\le \displaystyle\frac{r}{2},1\le r\le n),\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \sum _{i=1}^{p}{x}_{i}^{2}-\displaystyle \sum _{i=p+1}^{r}{x}_{i}^{2}+{x}_{r+1}=0 & (0\le p\le \displaystyle\frac{r}{2},1\le r\le n-1).\end{array}\end{eqnarray}

In den Fällen (3) und (4) wird eine sog. zentrale Quadrik (mit dem Koordinatenursprung als Symmetriezentrum), im Falle von (5) eine nicht zentralsymmetrische Quadrik dargestellt. Für n = 2 beschreibt (3) Ellipsen, Hyperbeln, Paare paralleler Geraden oder die leere Punktmenge. Durch (5) werden Parabeln und durch (4) Doppelgeraden, einzelne Geraden (nämlich die Koordinatenachsen) oder Punkte dargestellt. Da durch (3)–(5) eine rein affine Klassifikation der Quadriken gegeben ist, bleiben dabei metrische Eigenschaften unberücksichtigt, Kreise sind z. B. nicht von anderen Ellipsen zu unterscheiden.

Euklidische Klassifikation der Quadriken. In einem euklidischen Raum (mit einer gegebenen Metrik) kann eine Hauptachsentransformation durch Ermittlung der Eigenvektoren der Matrix A aus (1) durchgeführt werden. Jede Quadrik in einem n–dimensionalen euklidischen Raum läßt sich damit durch eine der drei folgenden Gleichungen in metrischer Normalform darstellen, wobei λ 1λn die Eigenwerte der Ausgangsmatrix A sind: \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}\displaystyle \sum _{i=1}^{r}{\lambda }_{i}{x}_{i}^{2}-1 & =0 & (1\le r\le n),\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}\displaystyle \sum _{i=1}^{r}{\lambda }_{i}{x}_{i}^{2} & =0 & (1\le r\le n) & \text{und}\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}\displaystyle \sum _{i=1}^{r}{\lambda }_{i}{x}_{i}^{2}+{x}_{r+1}=0 & (1\le r\le n-1).\text{}\end{array}\end{eqnarray}

Die Gleichungen (6)–(8) kennzeichnen dieselben Fälle wie die Gleichungen (3)–(5) (in gleicher Reihenfolge) bei der affinen Klassifikation. Durch die Betrachtung der Koeffizienten λ 1λn lassen sich jedoch zusätzliche Aussagen hinsichtlich der metrischen Eigenschaften der betreffenden Quadriken treffen. So beschreibt z. B. (6) für r = n und λ 1 = λ 2 = · · · = λn eine n-dimensionale Kugel.

In der Ebene ℝ2 und im Raum ℝ3 sind Quadriken nach den Geraden und Ebenen die einfachsten Kurven bzw Flächen. Sie lassen sich vollständig nach ihren Kongruenzeigenschaften klassifizieren. Da dies die in der Praxis am häufigsten auftretenden Fälle von Quadriken sind, geben wir hier noch eine explizite Beschreibung aller Quadriken im ℝ2 und ℝ3.

In der Ebene ℝ2 ist jede Quadrik zu einer der Kurven (die zu Punkten entartet sein können) der folgenden Tabelle kongruent:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Quadrik
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Dabei sind a und b beliebige reelle Zahlen, die die Form der jeweiligen Kurve bestimmen.

Im dreidimensionalen Raum ℝ3 ist jede Quadrik zu einer der Flächen (die zu Punkten oder Geraden entartet sein können) der folgenden Tabelle kongruent:

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Quadrik
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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In endlichen projektiven Räumen gibt es genau drei Typen nicht ausgearteter Quadriken, die sich anhand ihres Indexes (als der maximalen Dimension eines in ihr enthaltenen projektiven Unterraumes plus Eins) unterscheiden, nämlich elliptische Quadriken, hyperbolische Quadriken und parabolische Quadriken.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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