Unter Funktionentheorie versteht man die Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Manche Autoren nennen solche Funktionen auch analytisch und in der älteren Literatur findet man häufig die Bezeichnung regulär. Zu den Hauptbegründern der modernen Funktionentheorie gehören Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß.

Cauchy versteht unter einer holomorphen Funktion eine in einer offenen Menge D ⊂ ℂ komplex differenzierbare Funktion. Die Cauchysche Funktionentheorie basiert auf seinem berühmten Integralsatz und dem Begriff des Residuums. Bei Riemann stehen die Abbildungseigenschaften im Vordergrund, d. h. holomorphe Funktionen sind spezielle Abbildungen zwischen Bereichen der komplexen Ebene ℂ. Für Weierstraß ist eine holomorphe Funktion eine Funktion, die sich um jeden Punkt ihres Definitionsbereichs in eine konvergente Potenzreihe entwickeln läßt. Obwohl methodisch völlig verschieden, sind diese drei Zugänge äquivalent und untrennbar miteinander verwoben. Daher wurden viele Vereinfachungen in der Darstellung möglich, und es konnten wichtige neue Resultate entdeckt werden.

Im folgenden werden die wichtigsten Ergebnisse und Methoden beschrieben. Dabei wird des öfteren auf entsprechende Stichworte verwiesen oder nur besonders einprägsame Sonderfälle formuliert. Die Anordnung ist in etwa so gewählt, wie sie heute in der Regel in Vorlesungen und Lehrbüchern erfolgt.

Grundlegend für die Funktionentheorie ist der Begriff der komplexen Zahl. Die Menge aller komplexen Zahlen bezeichnet man mit ℂ. Ist D ⊂ ℂ eine offene Menge und f : D → ℂ eine Funktion, so heißt f holomorph in D, falls f an jedem Punkt z₀ ∈ D komplex differenzierbar ist. Eine hierzu äquivalente Bedingung lautet: Ist f = u + iv, so sind die Funktionen u, v in D reell differenzierbar und für die partiellen Ableitungen gelten die Cauchy-Riemann-Gleichungen \begin{equation} u_{x}(z)=v_{y}(z),\ \ \ u_{y}(z)=-v_{x}(z),\ \ \ z\in D. \end{equation} Es gilt dann für die Ableitung von f \begin{array}{lll}\\f^{\prime}(x) & = & u_{x}(z)+iv_{x}(z)\\ & = & -i(u_{y}(z)+iv_{y}(z)),\ \ \ z\in D. \end{array} Die Algebra der holomorphen Funktionen in D bezeichnet man mit \(\mathcal{O}(D).\) oder H(D). Wichtige elementare Beispiele holomorpher Funktionen sind Polynome, die Exponentialfunktion, die Cosinus- und Sinusfunktion, die Hyperbelfunktionen und der Hauptzweig des Logarithmus.

Die Grundlage der Cauchyschen Funktionentheorie sind komplexe Wegintegrale. Das Hauptergebnis ist der Cauchysche Integralsatz, der im Spezialfall eines einfach zusammenhängenden Gebietes wie folgt lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann gilt für jede in G holomorphe Funktion f und jeden in G rektifizierbaren, geschlossenen Weg γ \begin{equation} \int\limits_{\gamma}f(z)\ dz=0 \end{equation}

Eine Art Umkehrung dieses Ergebnisses ist der Satz von Morera. An dieser Stelle sei auch auf den Hauptsatz der Cauchy-Theorie verwiesen.

Aus dem Cauchyschen Integralsatz leitet man nun die Cauchysche Integralformel her. Sie lautet speziell für Kreisscheiben:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und B := B_r(z₀), r > 0 eine offene Kreisscheibe mit \(\bar{B}\subset D\). Dann gilt für jede in D holomorphe Funktion f \begin{equation} f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial B}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta, \ \ \ z\in B. \end{equation}

Mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel erhält man, daß holomorphe Funktionen in Potenzreihen entwickelbar sind. Der Cauchysche Entwicklungssatz besagt:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge, f eine in D holomorphe Funktion und B = B_r(z₀), r > 0 eine offene Kreisscheibe mit B ⊂ D. Dann gilt \begin{equation} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n},z\in B \end{equation}mit eindeutig bestimmten Koeffizienten a_n ∈ ℂ.

Insbesondere ist jede in D holomorphe Funktion f unendlich oft komplex differenzierbar in D, d.h. sämtliche Ableitungen f′, f″, f‴, … von f existieren in D und sind in D holomorphe Funktionen. Umgekehrt stellt jede konvergente Potenzreihe eine in ihrem Konvergenzkreis holomorphe Funktion dar. Hierdurch ist die Verbindung zwischen der Cauchyschen und der Weierstraßschen Funktionentheorie hergestellt.

Aus diesen zentralen Sätzen können nun weitere fundamentale Resultate über holomorphe Funktionen hergeleitet werden. Ein erstes Beispiel ist der Identitätssatz:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f, g holomorphe Funktionen in G, A eine Teilmenge von G, die einen Häufungspunkt in G hat und f(a) = g(a) für alle a ∈ A. Dann gilt bereits f(z) = g(z) für alle z ∈ G.

Hieraus folgt, daß die Nullstellenmenge einer in G nicht identisch verschwindenden holomorphen Funktion f höchstens abzählbar ist und keinen Häufungspunkt in G besitzt. Ist z₀ ∈ G eine Nullstelle von f, so existiert ein m ∈ ℕ mit f(z₀) = f′(z₀) = … = f^(m−1)(z₀) = 0 und f^(m)(z₀) ≠ 0. Diese Zahl m nennt man die Nullstellenordnug von z0 und bezeichnet sie mit o(f, z₀).

Aus der Cauchyschen Integralformel und dem Identitätssatz erhält man das Maximumprinzip:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion und |f| besitze an z₀ ∈ G ein lokales Maximum, d. h. es gibt eine Umgebung U ⊂ G von z₀mit |f(z)| ≤ |f(z₀)| für alle z ∈ U. Dann ist f konstant in G.

Als Folgerung aus dem Maximumprinzip erhält man das Lemma von Schwarz:

Es sei \(\mathbb{E}=\{z\in \mathbb{C}:\vert z\vert \lt 1\}\), f eine in \(\mathbb{E}\)holomorphe Funktion mit \(f(\mathbb{E})\subset \mathbb{E}\)und f(0) = 0. Dann gilt |f(z)| ≤ |z| für alle \(z\in\mathbb{E}\)und |f′(0)| ≤ 1.

Gilt|f(z₀)| = |z₀| für ein \({z}_{0}\in {\mathbb{E}}\backslash \{0\}\ oder\ |{f}^{^{\prime} }(0)|=1\), so gibt es ein α ∈ ℝ mit f(z) = e^iαz für alle \(z\in \mathbb{E}\).

Das Lemma von Schwarz ist z. B. ein wichtiges Hilfsmittel bei der Bestimmung der Automorphismengruppe von \(\mathbb{E}\).

In diesen Zusammenhang gehört auch der Satz von Liouville für ganze Funktionen:

Es sei f eine beschränkte ganze Funktion. Dann ist f konstant.

Hieraus läßt sich leicht der Fundamentalsatz der Algebra ableiten:

Jedes Polynom \begin{equation} p(z)=a_{0}+a_{1}z+\ldots+a_{n}z^{n} \end{equation}mit Koeffizienten a₀, a₁, …, a_n ∈ ℂ, a_n ≠ 0, n ≥ 1 besitzt mindestens eine Nullstelle z₀ ∈ ℂ.

Weiterhin gilt der Satz über die Gebietstreue:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f eine in G holomorphe Funktion, die nicht konstant ist. Dann ist die Bildmenge f(G) wieder ein Gebiet.

Eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie spielen auch Folgen und Reihen holomorpher Funktionen. Grundlegend ist der Weierstraßsche Konvergenzsatz:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und (f_n) eine Folge von in D holomorphen Funktionen, die in D kompakt konvergent gegen die Grenzfunktion f ist. Dann ist f holomorph in D, und für jedes k ∈ ℕ ist die Folge \((f_{n}^{(k)})\)der k-ten Ableitungen in D kompakt konvergent gegen f^(k).

Das entsprechende Ergebnis für Reihen lautet:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und \(\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}\)eine Reihe von in D holomorphen Funktionen, die in D kompakt konvergent gegen die Grenzfunktion f ist. Dann ist f holomorph in D, und für jedes k ∈ ℕ ist die k-mal gliedweise differenzierte Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}^{(k)}\)in D kompakt konvergent gegen f^(k), d. h. es gilt \begin{equation} f^{(k)}(z)=\sum_{n=1}^{\infty}f^{(k)}_{n}(z),\ \ \ z\in D \end{equation}

Eine wichtige Aussage über die Nullstellen der Grenzfunktion liefert der Satz von Hurwitz über holomorphe Funktionenfolgen.

Neben den Potenzreihen spielen Laurent-Reihen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie. Der Entwicklungssatz von Laurent besagt:

Es sei f eine im Kreisring \(A_{r,s}(z_{0}):=\{z \in \mathbb{C}:0\leq r\lt \vert z-z_{0}\vert \lt s \leq \infty\},\ \ z_{0} \in \mathbb{C}\)holomorphe Funktion. Dann ist f in A_r,s(z₀) in eine Laurent Reihe \begin{equation} f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}, \ \ \ z\in A_{r,s}(z_{0}) \end{equation}mit eindeutig bestimmten Koeffizienten a_n ∈ ℂ entwickelbar.

Umgekehrt stellt jede konvergente Laurent-Reihe eine in einem Kreisring holomorphe Funktion dar.

Mit Hilfe von Laurent-Reihen lassen sich isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen klassifizieren. Ist G ⊂ ℂ ein Gebiet, z₀ ∈ G und f eine in \(\dot{G}=G \backslash\{z_{0}\}\) holomorphe Funktion, so heißt z₀ eine isolierte Singularität von f. Dann besitzt f eine Laurent-Entwicklung \begin{equation} f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n},\ \ \ z\in \dot{B}_{r}(z_{0}), \end{equation} wobei B_r(z₀) ⊂ G eine offene Kreisscheibe ist. Man nennt z₀ eine

1. (1) Ist z₀ eine einfache Polstelle von f, so gilt \begin{equation} \mathrm{Res}(f,z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z). \end{equation} Hieraus erhält man speziell: Sind g und h in einer Umgebung von z₀ holomorphe Funktionen mit g(z₀) ≠ 0, h(z₀) = 0 und h′(z₀) ≠ 0, so hat \(f:=\frac{g}{h}\) an z₀ eine einfache Polstelle, und es gilt \begin{equation} \mathrm{Res}(f,z_{0})=\frac{g(z_{0})}{h^{\prime}(z_{0})}. \end{equation}
2. (2) Hat f an z₀ eine Polstelle der Ordnung m ∈ ℕ, so hat g(z) = (z − z₀)^mf(z) an z₀ eine hebbare Singularität, und es gilt \begin{equation} \mathrm{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{(m-1)!}g^{(m-1)}(z_{0}). \end{equation}
3. (3) Ist g in einer Umgebung von z₀ holomorph und hat g an z₀ eine Nullstelle der Ordnung k ∈ ℕ, so hat \(f:\frac{g^{\prime}}{g}\) an z₀ eine einfache Polstelle, und es gilt \begin{equation} \mathrm{Res}(f,z_{0})=k. \end{equation}

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, A eine endliche Teilmenge von G und γ eine rektifizierbare Jordan- Kurve in G derart, daß γ ullhomolog in G ist und kein Punkt von A auf γ liegt. Dann gilt für jede in G \ A holomorphe Funktion f \begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}f(z)dz=\int\limits_{z_{0}\in A\cap \mathrm{Int}\gamma}\mathrm{Res}(f,z_{0}), \end{equation}wobei Int γ das Innere eines geschlossenen Weges bezeichnet.

Aus dem Residuensatz erhält man weitere wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen. Als erstes sei das Prinzip vom Argument erwähnt.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f eine in G meromorphe Funktion mit nur endlich vielen Null- und Polstellen in G. Weiter sei γ eine rektifizierbare Jordan-Kurve in G derart, daß γ nullhomolog in G ist und keine Null- und Polstellen von f auf γ liegen. Dann gilt \begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}\frac{f^{\prime}(z)}{f(z)}dz=N-P, \end{equation}wobei N die Anzahl der Null- und P die Anzahl der Polstellen von f in Int γ bezeichnet. Dabei ist jeweils die Null- und Polstellenordnung zu berücksichtigen.

Hieraus ergibt sich nun der Satz von Rouché:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f, g in G holomorphe Funktionen. Weiter sei γ eine rektifizierbare Jordan-Kurve in G derart, daß γ nullhomolog in G ist und \begin{equation} \vert f(\zeta)+g(\zeta)\vert \lt \vert f(\zeta)\vert+\vert g(\zeta)\vert,\ \ \ \zeta \in \gamma \end{equation}gilt. Dann haben f und g gleich viele Nullstellen in Int γ, wobei die Nullstellenordnung zu berücksichtigen ist.

Mit Hilfe des Prinzips vom Argument oder des Satzes von Rouché erhält man weitere einfache Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra. Außerdem können beide Ergebnisse zu einem Beweis des oben erwähnten Satzes von Hurwitz herangezogen werden.

Ein Hauptanwendungsgebiet des Residuensatzesist die (einfache) Berechnung reeller uneigentlicher Integrale. Dies soll an einem Beispiel demonstriert werden. Für n ∈ ℕ, n ≥ 2 ist \begin{equation} I_{n}:=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x_{n}} \end{equation} zu berechnen. Dazu setzt man \begin{equation}f(z):=\frac{1}{1+z^{n}}.\end{equation} Dann hat f an z₀ = e^πi/n eine einfache Polstelle und \begin{equation} \mathrm{Res}(f,z_{0})=-\frac{z_{0}}{n}. \end{equation} Nun integriert man f über die Jordan-Kurve γ : = γ₁ + γ₂ + γ₃, wobei γ₁(t) := t, t ∈ [0,r], r > 1, \(\gamma_{2}(t):=re^{it},\ t\in [0,\frac{2\pi}{n}]\) und \(\gamma_{3}(t):=(r-t)z_{0}^{2},\ t\in [0,r]\). Dann folgt mit dem Residuensatz \begin{equation} \int\limits_{0}^{r}f(x)\ dx+\int\limits_{\gamma_{2}}f(z)\ dz+\int\limits_{\gamma_{3}}f(z)\ dz=-\frac{2\pi i z_{0}}{n}. \end{equation} Für das Integral über γ₃ erhält man \begin{equation} \int\limits_{\gamma_{3}}f(z)\ dz=-z^{2}_{0}\int\limits_{0}^{r}f(x)\ dx, \end{equation} und eine elementare Abschätzung liefert noch \begin{equation} \int_{\gamma_{2}}f(z)dz\rightarrow 0\ \ \ \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\ r\rightarrow \infty. \end{equation} Insgesamt folgt \begin{equation} (z_{0}-1)I_{n}=\frac{2\pi iz_{0}}{n} \end{equation} und hieraus \begin{equation} I_{n}=\frac{\pi}{n \sin \frac{\pi}{n}}. \end{equation} Speziell erhält man \begin{equation} I_{2}=\frac{\pi}{2},\ \ \ I_{4}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}},\ \ \ I_{6}=\frac{\pi}{3}. \end{equation} .

Schließlich soll noch auf den geometrischen Aspekt der Funktionentheorie, der bei Riemann im Vordergrund stand, eingegangen werden. Grundlegend hierfür ist der Begriff der konformen Abbildung. Solche Abbildungen sind durch eine geome-trische Eigenschaft definiert, die in dem genannten Stichwort genau erklärt wird. Der Zusammenhang zur Cauchyschen und Weierstraßschen Funktionentheorie wird durch die Tatsache hergestellt, daß eine konforme Abbildung f eines Gebietes G ⊂ ℂ auf ein Gebiet G* ⊂ ℂ aus analytischer Sicht eine biholomorphe Abbildung von G auf G^* ist, d. h. f ist bijektiv, f ist holomorph in G, und die Umkehrabbildung f⁻¹ ist holomorph in G*. Fundamental für die Theorie der konformen Abbildungen ist der berühmte Riemannsche Abbildungssatz:

Es sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, G ≠ ℂ und z₀ ∈ G. Dann existiert genau eine konforme Abbildung f von G auf die offene Einheitskreisscheibe \(\mathbb{E}\)mit f(Z₀) = 0 und f′(Z₀) > 0.

In diesem Zusammenhang ist auch die Carathéodory-Koebe-Theorie zu nennen, die einen konstruktiven Beweis des Abbildungssatzes liefert. Konforme Abbildungen spielen heute eine wichtige Rolle in den Anwendungen, z. B. in der Aero- und Hydrodynamik und der Elektrotechnik.

Natürlich ist die Funktionentheorie mit diesen Ausführungen mitnichten vollständig beschrieben. Ein solches Unterfangen ist aus Platzgründen auch gar nicht möglich. Dieser Artikel stellt im wesentlichen nur das Grundwissen dar. Der Leser findet in diesem Lexikon viele weitere Stichworte zu dem Fachgebiet, von denen dem Autor folgende von besonderem Interesse erscheinen (in alphabetischer Reihenfolge): Hardy-Räume, harmonische Funktionen, Holomorphiegebiete, Iteration rationaler Funktionen, Satz von Mittag-Leffler über die Partialbruchzerlegung meromorpher Funktionen, Nevanlinna-Theorie, normale Familien und die Sätze von Montel und Vitali, Runge-Theorie für Kompakta, Produktsatz von Weierstraß über unendliche Produkte holomorpher Funktionen und die Ausführungen zur Werteverteilung holomorpher Funktionen.

Zuletzt bittet der Autor all jene Leser um Verständnis, deren Lieblingsthema hier nicht aufgeführt wurde.

Die folgende Literaturliste stellt nur eine Auswahl dar, wobei hauptsächlich Lehrbücher neueren Datums aufgeführt sind.

Literatur

[1] Ahlfors, L.V.: Complex Analysis. McGraw-Hill Book Company New York, 1966.

[2] Burckel, R.B.: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1. Birkhäuser Verlag Basel, 1979.

[3] Conway, J.B.: Functions of One Complex Variable. Springer-Verlag New York, 1978.

[4] Conway, J.B.: Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag New York, 1995.

[5] Fischer, W.; Lieb, I.: Funktionentheorie. Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig, 1981.

[6] Fischer, W.; Lieb, I.: Ausgewählte Kapitel aus der Funktionentheorie. Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig, 1988.

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[8] Jänich, K.: Einführung in die Funktionentheorie. Springer-Verlag Berlin, 1980.

[9] Krantz, S.G.: Handbook of Complex Variables. Birkhäuser Verlag Boston, 1999.

[10] Lang, S.: Complex Analysis. Springer-Verlag New York, 1985.

[11] Narasimhan, R.: Complex Analysis in One Variable. Birkhäuser Verlag Boston, 1985.

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[13] Remmert, R.: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag Berlin, 1992.

[14] Remmert, R.: Funktionentheorie 2. Springer-Verlag Berlin, 1991.

[15] Schmieder, G.: Grundkurs Funktionentheorie. B.G. Teubner Stuttgart, 1993.